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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Di 23.11.2010 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Für $p [mm] \in \IN$, [/mm] $p [mm] \ge [/mm] 3$ betrachten wir die Menge
[mm] $D_p [/mm] := [mm] {[-1],[1]}X\IZ_p \subset \IZ_p [/mm] X [mm] \IZ_p$.
[/mm]
Auf dieser Menge definieren wir eine Verknüpfung [mm] \* [/mm] durch
[mm]([n],[m]) \* ([k],[l]) := ([n]*[k],[n]*[l]+[m])[/mm].
Dabei bezeichne $+$ und [mm] $\(*$ [/mm] die Addition bzw. Multiplikation in [mm] $\IZ_p$. [/mm] Man beachte: $[-1]=[p-1]$ in [mm] $\IZ_p$
[/mm]
(a) Zeigen sie, dass [mm] $D_p$ [/mm] mit der Verknüpfung [mm] $\*$ [/mm] eine Gruppe ist. Dabei dürfen sie auf den Nachweis der Assoziativität von [mm] $\*$ [/mm] verzichten.
(b) Ist [mm] $\D_p$ [/mm] kommutativ?
(c)Bestimmen sie alle Lösungen $x [mm] \in D_3§ [/mm] bzw $x' [mm] \in D_3$ [/mm] der Gleichungen
[mm] $\(([1],[2])\* [/mm] x=([-1],[2])$ und $x' [mm] \* [/mm] ([1],[2])=([-1],[2]). |
Wie genau kann ich denn zeigen, dass es eine Gruppe ist?
Also ich zeige, (a)dass es ein neutrales Element gibt und (b)dass es zu jedem Element auch ein Inverses gibt.
(a):
Es muss gelten: [mm][n]=[n]*[k][/mm]. [k] ist also [1]. D.h. [mm][n]=[n]*[1][/mm]. Also [mm][n]=[n][/mm]
Außerdem muss gelten: [mm][n]*[l]+[m]=[m][/mm] also [mm][n]*[l]=[0][mm]. Das neutrale Element ist also [mm]([1],[0])[/mm].
(b): Für das inverse Element gilt allgemein: [mm] $a*a^{-1}=e$ [/mm] wobei e das neutrale Element ist.
Übertragen muss also gelten:
[mm][n]*[k]=[1][/mm] Muss ich jetzt unterscheiden für [n]=[-1] und [n]=[1]? Wie kann ich das denn allg. sagen?
Stimmt mein Weg bis hier hin?
lg Grüße,
nhard?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:15 Do 25.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Für [mm]p \in \IN[/mm], [mm]p \ge 3[/mm] betrachten wir die Menge
>
> [mm]D_p := {[-1],[1]}X\IZ_p \subset \IZ_p X \IZ_p[/mm].
> Auf dieser
> Menge definieren wir eine Verknüpfung [mm]\*[/mm] durch
> [mm]([n],[m]) \* ([k],[l]) := ([n]*[k],[n]*[l]+[m])[/mm].
> Dabei bezeichne [mm]+[/mm] und [mm]\(*[/mm] die Addition bzw. Multiplikation in [mm]\IZ_p[/mm]. Man beachte: [mm][-1]=[p-1][/mm] in [mm]\IZ_p[/mm]
>
> (a) Zeigen sie, dass [mm]D_p[/mm] mit der Verknüpfung [mm]\*[/mm] eine Gruppe ist. Dabei dürfen sie auf den Nachweis der Assoziativität von [mm]\*[/mm] verzichten.
> (b) Ist [mm]\D_p[/mm] kommutativ?
> (c)Bestimmen sie alle Lösungen $x [mm]\in D_3§[/mm] bzw $x' [mm]\in D_3$[/mm] der Gleichungen
>
> [mm]$\(([1],[2])\*[/mm] x=([-1],[2])$ und $x' [mm]\*[/mm] ([1],[2])=([-1],[2]).
>
> Wie genau kann ich denn zeigen, dass es eine Gruppe ist?
> Also ich zeige, (a)dass es ein neutrales Element gibt und (b)dass es zu jedem Element auch ein Inverses gibt.
Genau. (Assoziativitaet brauchst du ja nicht mehr...)
Es ist allerdings nicht sehr klug, das hier auch (a) und (b) zu nennen, wie die Aufgabenteile oben.
> (a):
>
> Es muss gelten: [mm][n]=[n]*[k][/mm]. [k] ist also [1]. D.h. [mm][n]=[n]*[1][/mm]. Also [mm][n]=[n][/mm]
>
> Außerdem muss gelten: [mm][n]*[l]+[m]=[m][/mm] also [mm][n]*[l]=[0][mm]. Das neutrale Element ist also [mm]([1],[0])[/mm]. [/mm][/mm]
Ja. Und jetzt musst du das nur noch richtigherum aufschreiben: rechne nach, dass $([1], [0]) * ([n], [m]) = ([n], [m]) = ([n], [m]) * ([1], [0])$ ist.
> [mm][mm](b): Für das inverse Element gilt allgemein: [mm]a*a^{-1}=e[/mm] wobei e das neutrale Element ist.[/mm][/mm]
> [mm][mm] Übertragen muss also gelten:[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][n]*[k]=[1][/mm] Muss ich jetzt unterscheiden für [n]=[-1] und [n]=[1]? Wie kann ich das denn allg. sagen?[/mm][/mm]
Beachte, dass [mm] $[n]^2 [/mm] = [1]$ ist fuer alle $n [mm] \in \{ -1, 1 \}$. [/mm] Du brauchst also keine Fallunterscheidung zu machen, sondern einfach $[k] = [n]$ nehmen.
LG Felix
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