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Beweis einer Mengenrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:26 Do 22.12.2016
Autor: Thyrrac

Aufgabe
Es seien [mm] $A_1, A_2, B_1$ [/mm] und [mm] $B_2$ [/mm] Mengen. Zeigen Sie:
[mm](A_1 \times B_1)\cup(A_2 \times B_2) \subseteq (A_1 \cup A_2)\times(B_1 \cup B_2)[/mm].
Geben Sie die Mengen an, sodass in der obigen Formel [mm] $\subset$ [/mm] gilt.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Mein Ansatz:
(rechte Seite)
[mm] $(A_1 \cup A_2) \times (B_1 \cup B_2) [/mm] = [mm] \{(x, y) | (x \in A_1 \cup x \in A_2) \cap (y \in B_1 \cup y \in B_2\}$ [/mm]
               [mm] =\{(x, y) | (x \in A_1 \cap y \in B_1)\cup(x \in A_2 \cap y \in B_1)\cup(x \in A_1 \cap y \in B_2)\cup(x \in A_2 \cap y \in B_2)\} [/mm] (Distributivgesetz)
(linke Seite)
[mm] $(A_1 \times B_1)\cup(A_2 \times B_2) [/mm] = [mm] \{(x, y) | (x \in A_1 \cap y \in B_1) \cup (x \in A_2 \cap y \in B_2\}$ [/mm]

Meine Frage ist, ob die Umformung so in Ordnung ist und ob das reicht um zu beweisen, dass die Linke Seite Teilmenge der Rechten Seite ist.

Für die zweite Teilaufgabe hab ich mir überlegt, dass: [mm] $A_1 \ne A_2 \cup B_1 \ne B_2$ [/mm] gelten muss, da '=' hier nur gilt wenn [mm] $A_1 [/mm] = [mm] A_2 \cap B_1 [/mm] = [mm] B_2$. [/mm]

Außerdem würde mich auch mal interessieren ob man das jetzt schon Mengeninklusion nennt oder ob man dafür noch die [mm] $\supset$ [/mm] Relation beweisen muss.

Puhh ein Haufen Schreibarbeit das mit Latex zu machen ^^
Hoffe mir kann jemand weiterhelfen

        
Bezug
Beweis einer Mengenrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:54 Fr 23.12.2016
Autor: angela.h.b.


> Es seien [mm]A_1, A_2, B_1[/mm] und [mm]B_2[/mm] Mengen. Zeigen Sie:
> [mm](A_1 \times B_1)\cup(A_2 \times B_2) \subseteq (A_1 \cup A_2)\times(B_1 \cup B_2)[/mm].

>

> Geben Sie die Mengen an, sodass in der obigen Formel
> [mm]\subset[/mm] gilt.

Hallo,

[willkommenmr].

Vorweg:
das Zeichen [mm] \cup [/mm] verwendet man, wenn Mengen vereinigt werden.
Statt des Wörtchens "oder" kann man das Zeichen [mm] \vee [/mm] verwenden.
[mm] \cap [/mm] und [mm] \wedge [/mm] entsprechend.
Ich korrigiere es inDeinem Text nicht.
>

> Mein Ansatz:
> (rechte Seite)
> [mm](A_1 \cup A_2) \times (B_1 \cup B_2) = \{(x, y) | (x \in A_1 \cup x \in A_2) \cap (y \in B_1 \cup y \in B_2\}[/mm]

>

> [mm]=\{(x, y) | (x \in A_1 \cap y \in B_1)\cup(x \in A_2 \cap y \in B_1)\cup(x \in A_1 \cap y \in B_2)\cup(x \in A_2 \cap y \in B_2)\}[/mm]
> (Distributivgesetz)
> (linke Seite)
> [mm](A_1 \times B_1)\cup(A_2 \times B_2) = \{(x, y) | (x \in A_1 \cap y \in B_1) \cup (x \in A_2 \cap y \in B_2\}[/mm]

>

> Meine Frage ist, ob die Umformung so in Ordnung ist

Ja.

> und ob
> das reicht um zu beweisen, dass die Linke Seite Teilmenge
> der Rechten Seite ist.

Nein.
Es reicht nicht, weil man sich selbst noch überlegen muß, weshalb die eine Teilmenge der anderen ist,
und diese Überlegung darzustellen, ist Deine Aufgabe.

Prinzipiell zeigt man die Teilmengenbeziehung [mm] A\subseteq [/mm] B, indem man zeigt, daß aus [mm] x\in [/mm] A folgt, daß [mm] x\in [/mm] B.
Daß also jedes Element, welches in A liegt, auch in B ist, denn so ist "Teilmenge" definiert.

Hier:

Sei [mm] (x,y)\in (A_1\times B_1)\cup(A_2\times B_2) [/mm]

==>

[mm] (x,y)\in (A_1\times B_1) [/mm] oder [mm] (x,y\in (A_2\times B_2) [/mm]

==> ... ==> ... ==> ... ==> ... ==> ... ==> ... ==> ...

==> [mm] (x,y)\in (A_1\cup A_2)\times (B_1\cup B_2) [/mm]



>

> Für die zweite Teilaufgabe hab ich mir überlegt, dass:
> [mm]A_1 \ne A_2 \cup B_1 \ne B_2[/mm] gelten muss, da '=' hier nur
> gilt wenn [mm]A_1 = A_2 \cap B_1 = B_2[/mm].

Deine Chefs wollen konkrete Mengen sehen, etwa [mm] A_1=\{a,b\},... [/mm]

>

> Außerdem würde mich auch mal interessieren ob man das
> jetzt schon Mengeninklusion nennt oder ob man dafür noch
> die [mm]\supset[/mm] Relation beweisen muss.

Ich weiß nicht, was Du meinst.

LG Angela

Bezug
                
Bezug
Beweis einer Mengenrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 Di 27.12.2016
Autor: Thyrrac


> Vorweg:
>  das Zeichen [mm]\cup[/mm] verwendet man, wenn Mengen vereinigt
> werden.
>  Statt des Wörtchens "oder" kann man das Zeichen [mm]\vee[/mm]
> verwenden.
>  [mm]\cap[/mm] und [mm]\wedge[/mm] entsprechend.

Oh ja, das muss ich übersehen haben. Danke für den Hinweis!

Also, hier ein erneuter Ansatz:
[mm] (x,y)\in (A_1xB_1) [/mm] oder [mm] (A_2xB_2) [/mm]
[mm] \to (x\in A_1 [/mm] und [mm] y\in B_1) [/mm] oder [mm] (x\in A_2 [/mm] und [mm] y\in B_2) [/mm]
[mm] \to (x\in A_1 [/mm] oder [mm] x\in A_2) [/mm] und [mm] (y\in B_1 [/mm] oder [mm] y\in B_2) [/mm]
[mm] \to (x,y)\in (A_1\vee A_2)x(B_1\vee B_2) [/mm]

Zur Teilaufgabe hab ich jetzt:

[mm] A_1=\{1, 2\}, A_2=\{3, 4\}, B_1=\{5, 6\}, B_2=\{7, 8\} [/mm]

[mm] \{(1,5),(2,6),(3,7),(4,8)\} \subset \{(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8)\} [/mm]

Bei der Letzten Frage ging es mir darum, dass wir in der Uni nur Gleichheitsbeweise auf zwei Mengen geführt haben, also die [mm] \subset [/mm] und die [mm] \supset [/mm] Relation. Die Frage hat sich aber, denke Ich schon, geklärt.

Bezug
                        
Bezug
Beweis einer Mengenrelation: Zu Aufgabenteil a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:28 Di 27.12.2016
Autor: Diophant

Hallo,

> Also, hier ein erneuter Ansatz:
> [mm](x,y)\in (A_1xB_1)[/mm] oder [mm](A_2xB_2)[/mm]
> [mm]\to (x\in A_1[/mm] und [mm]y\in B_1)[/mm] oder [mm](x\in A_2[/mm] und [mm]y\in B_2)[/mm]

>

> [mm]\to (x\in A_1[/mm] oder [mm]x\in A_2)[/mm] und [mm](y\in B_1[/mm] oder [mm]y\in B_2)[/mm]

>

> [mm]\to (x,y)\in (A_1\vee A_2)x(B_1\vee B_2)[/mm]

>

> Zur Teilaufgabe hab ich jetzt:

Bis auf die Schreibweise (falscher Implikationspfeil, logische Operatoren auf Mengen angewendet) ist das richtig.

Für Teil b) fehlt mir momentan die Zeit.

Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Beweis einer Mengenrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 Mi 28.12.2016
Autor: Thyrrac


> Bis auf die Schreibweise (falscher Implikationspfeil,
> logische Operatoren auf Mengen angewendet) ist das
> richtig.

Welchen Operator soll Ich denn nun benutzen? Ich bin davon ausgegangen dass das 'oder' und das [mm] '\vee' [/mm] gleiche Bedeutung haben. Mengenoperatoren kann Ich ja aber laut angela.h.b's Antwort auch nicht nehmen. Ist nur deshalb der Implikationspfeil falsch oder warum kann ich den dort auch nicht verwenden?


Bezug
                                        
Bezug
Beweis einer Mengenrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:27 Mi 28.12.2016
Autor: Diophant

Hallo,

> Welchen Operator soll Ich denn nun benutzen? Ich bin davon
> ausgegangen dass das 'oder' und das [mm]'\vee'[/mm] gleiche
> Bedeutung haben. Mengenoperatoren kann Ich ja aber laut
> angela.h.b's Antwort auch nicht nehmen. Ist nur deshalb der
> Implikationspfeil falsch oder warum kann ich den dort auch
> nicht verwenden?

Ich glaube, du unterscheidest noch nicht sauber zwischen Aussagen und Mengen. Wenn du zwei Aussagen verknüpfen möchtest, brauchts du logische Operatoren, für Mengen dann eben Mengen-Operatoren.

Prüfe deine Rechnung nochmal darauf hin!

Gruß, Diophant

Bezug
                                        
Bezug
Beweis einer Mengenrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Mi 28.12.2016
Autor: Thyrrac

Wenn ich das richtig verstehe soll es jetzt also so aussehen:
[mm] (x,y)\in (A_1xB_1) \cup (A_2xB_2) [/mm]
[mm] (x\in A_1 \wedge y\in B_1) \cup (x\in A_2 \wedge y\in B_2) [/mm]
[mm] (x\in A_1 \vee x\in A_2) \cap (y\in B_1 \vee y\in B_2) [/mm]
[mm] (x,y)\in (A_1\cup A_2)x(B_1\cup B_2) [/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Beweis einer Mengenrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:27 Mi 28.12.2016
Autor: angela.h.b.


> Wenn ich das richtig verstehe soll es jetzt also so
> aussehen:

Hallo,

nicht ganz...

[mm] \cup [/mm] und [mm] \cap [/mm] sind Mengenoperationen. Sie verknüpfen zwei Mengen, das Ergebnis dieser Verknüpfungen ist wieder eine Menge.

Schau Dir die Definitionen von [mm] A\cup [/mm] B und [mm] A\cap [/mm] B an:

in der Menge [mm] A\cup [/mm] B
sind all diejenigen Elemente, die in A oder in B sind.
[mm] x\in A\cup [/mm] B <==> [mm] (x\in [/mm] A oder [mm] x\in [/mm] B)


In der Menge [mm] A\cap [/mm] B
sind all diejenigen Elemente, die in A und in B sind.
[mm] x\in A\cap [/mm] B <==> [mm] (x\in [/mm] A und [mm] x\in [/mm] B).


[mm] \cap [/mm] und [mm] \cup [/mm] verknüpfen keine Aussagen!
Sie machen aus Mengen neue Mengen.

[mm] \vel [/mm] und [mm] \wedge [/mm] verknüpfen Aussagen zu einer neuen Aussage:

[mm] x\in A\cup [/mm] B <==> [mm] (x\in [/mm] A [mm] \vel x\in [/mm] B)
[mm] x\in A\cap [/mm] B <==> [mm] (x\in [/mm] A [mm] \wedge x\in [/mm] B)

Für mich sind [mm] \vel [/mm] und [mm] \wedge [/mm] absolut überflüssig.
Ich verwende lieber Worte.

> [mm](x,y)\in (A_1xB_1) \cup (A_2xB_2)[/mm]

okay.

> [mm](x\in A_1 \wedge y\in B_1) \cup (x\in A_2 \wedge y\in B_2)[/mm]

nicht okay
>

> [mm](x\in A_1 \vee x\in A_2) \cap (y\in B_1 \vee y\in B_2)[/mm]

nicht okay

>

> [mm](x,y)\in (A_1\cup A_2)x(B_1\cup B_2)[/mm]

okay

LG Angela

Bezug
                                                        
Bezug
Beweis einer Mengenrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 Do 29.12.2016
Autor: Thyrrac

Okay, also:
$(x,y) [mm] \in (A_1xB_1) \cup (A_2xB_2)$ [/mm]
[mm](x\in A_1 \wedge y\in B_1) \vee (x\in A_2 \wedge y\in B_2)[/mm]
[mm](x\in A_1 \vee x\in A_2) \wedge (y\in B_1 \vee y\in B_2)[/mm]
$(x,y) [mm] \in (A_1\cup A_2)x(B_1\cup B_2)$ [/mm]

Bezug
                                                                
Bezug
Beweis einer Mengenrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:39 Do 29.12.2016
Autor: Diophant

Hallo,

> Okay, also:
> [mm](x,y) \in (A_1xB_1) \cup (A_2xB_2)[/mm]
> [mm](x\in A_1 \wedge y\in B_1) \vee (x\in A_2 \wedge y\in B_2)[/mm]

>

> [mm](x\in A_1 \vee x\in A_2) \wedge (y\in B_1 \vee y\in B_2)[/mm]

>

> [mm](x,y) \in (A_1\cup A_2)x(B_1\cup B_2)[/mm]

Ja. Jetzt noch Implikationspfeile, dann ist es perfekt.


Gruß, Diophant

Bezug
                        
Bezug
Beweis einer Mengenrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:10 Di 27.12.2016
Autor: donquijote


> > Vorweg:
>  >  das Zeichen [mm]\cup[/mm] verwendet man, wenn Mengen vereinigt
> > werden.
>  >  Statt des Wörtchens "oder" kann man das Zeichen [mm]\vee[/mm]
> > verwenden.
>  >  [mm]\cap[/mm] und [mm]\wedge[/mm] entsprechend.
>  
> Oh ja, das muss ich übersehen haben. Danke für den
> Hinweis!
>  
> Also, hier ein erneuter Ansatz:
>  [mm](x,y)\in (A_1xB_1)[/mm] oder [mm](A_2xB_2)[/mm]
>  [mm]\to (x\in A_1[/mm] und [mm]y\in B_1)[/mm] oder [mm](x\in A_2[/mm] und [mm]y\in B_2)[/mm]
>  
> [mm]\to (x\in A_1[/mm] oder [mm]x\in A_2)[/mm] und [mm](y\in B_1[/mm] oder [mm]y\in B_2)[/mm]
>  
> [mm]\to (x,y)\in (A_1\vee A_2)x(B_1\vee B_2)[/mm]
>

Hallo,
zu b)

> Zur Teilaufgabe hab ich jetzt:
>  
> [mm]A_1=\{1, 2\}, A_2=\{3, 4\}, B_1=\{5, 6\}, B_2=\{7, 8\}[/mm]
>  
> [mm]\{(1,5),(2,6),(3,7),(4,8)\} \subset \{(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8)\}[/mm]

Der Ansatz ist in Ordnung, allerdings fehlen auf der linken Seite einige Elemente, z. B. (1,6).
Das ganze würde aber auch schon funktionieren, wenn du [mm]A_1,A_2,B_1,B_2[/mm] jeweils als einelmentige Mengen wählst.

>  
> Bei der Letzten Frage ging es mir darum, dass wir in der
> Uni nur Gleichheitsbeweise auf zwei Mengen geführt haben,
> also die [mm]\subset[/mm] und die [mm]\supset[/mm] Relation. Die Frage hat
> sich aber, denke Ich schon, geklärt.


Bezug
        
Bezug
Beweis einer Mengenrelation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:42 Sa 31.12.2016
Autor: Thyrrac

Hier nochmal die komplette Lösung:

[mm] \subseteq: [/mm]
[mm] (x,y)\in (A_1xB_1) \cup (A_2xB_2) [/mm]
[mm] \to (x\in A_1\wedge y\in B_1) \vee(x\in A_2\wedge y\in B_2) [/mm]
[mm] \to (x\in A_1\vee x\in A_2) \wedge(y\in B_1\vee y\in B_2) [/mm]
[mm] \to (x,y)\in(A_1\cup A_2)x(B_1\cup B_2) [/mm]

[mm] \subset: [/mm]
[mm] A_1 [/mm] = [mm] \{1\}, A_2=\{2\}, B_1=\{3\}, B_2=\{4\}, [/mm]
da [mm] \{(1,3),(2,4)\} \subset \{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\} [/mm]

Danke an angela.h.b, Diophant und donquijote für die Hilfe!

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