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Beweis einer Nullfolge führen: Hilfe Anfang
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:00 Sa 10.12.2016
Autor: Lillilein

Aufgabe
Sei [mm] a_{n} [/mm] die Fibonacci folge [mm] a_1=a_2=1, a_{k+1}=a_k+a_{k-1} [/mm] für k größer gleich 2. Beweis dass [mm] (a_{n+1}/a_n [/mm] - [mm] a_n/a_{n-1}) [/mm] n>1 eine nullfolge ist.

Wie soll ich hier anfangen bzw den Beweis führen...Als Tipp habe ich das bekommen aber ich weiß nicht wie ich es anwenden soll....
[mm] (a_k)^2=a_{k-1} [/mm] × [mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] (-1)^{k-1} [/mm]




Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweis einer Nullfolge führen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 Sa 10.12.2016
Autor: hippias

[willkommenmr]

Bilde den Hauptnenner der Brüche...

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Bezug
Beweis einer Nullfolge führen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:25 Sa 10.12.2016
Autor: Lillilein

Ich weiß nichtmal wie man den Hauptnenner bei sowas mit Index bildet...Ich stehe voll auf dem Schlauch

Bezug
                        
Bezug
Beweis einer Nullfolge führen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:02 Sa 10.12.2016
Autor: X3nion

Guten Abend lillilein,

auch ich sage Herzlich [willkommenmr]



Nun es ist [mm] (\frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] - [mm] \frac{a_{n}}{a_{n-1}}) [/mm] gegeben.

Der Hauptnenner von den beiden Brüchen ist doch [mm] a_n \* a_{n-1}. [/mm]

Womit musst du also den ersten Bruch im Zähler und Nenner erweitern, damit der Hauptnenner im Nenner steht, und womit den zweiten Bruch?

Wenn du das machst, zusammenfasst und den Tipp benutzt, dann annullieren sich einige Terme und es bleibt ein Term übrig, den du zur Nullfolge abschätzen kannst.

VG X3nion

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Beweis einer Nullfolge führen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:27 So 11.12.2016
Autor: Lillilein

Also dann kommt bei mir [mm] (a_{n+1}×a_{n-1}-(a_{n})^2)/0 [/mm] raus ...

Wenn ich jetzt den Tipp [mm] (a_{k})^2 [/mm] = [mm] a_{k-1}×a_{n+1}+(-1)^{k-1} [/mm] für k GRÖßER gleich 2 nehmen soll...Wie soll ich das machen wenn bei mir [mm] (a_{n})^2 [/mm] steht und im Tipp das mit a [mm] {k}^2.... [/mm]
Also da sind ja diese k noch dabei
Danke


Bezug
                                        
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Beweis einer Nullfolge führen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:56 So 11.12.2016
Autor: hippias


> Also dann kommt bei mir [mm](a_{n+1}×a_{n-1}-(a_{n})^2)/0[/mm] raus
> ...

Du dividierst durch Null! Wiederhole ganz dringend Bruchrechnung!

Der Bruch lautet richtig [mm] $\frac{a_{n+1}a_{n-1}-(a_{n})^2}{a_{n-1}a_{n}}$. [/mm]

>  
> Wenn ich jetzt den Tipp [mm](a_{k})^2[/mm] =
> [mm]a_{k-1}×a_{n+1}+(-1)^{k-1}[/mm] für k GRÖßER gleich 2 nehmen
> soll...Wie soll ich das machen wenn bei mir [mm](a_{n})^2[/mm] steht
> und im Tipp das mit a [mm]{k}^2....[/mm]

$k$ bzw. $n$ stehen für eine Zahl. Der Tipp, indem übrigens ein Schreibfehler passiert ist, kann etwas unmathematischer so formuliert werden:
[mm] $(a_{2})^{2}= a_{1}a_{3}-1$, $(a_{3})^{2}= a_{3}a_{4}+1$, $(a_{4})^{2}= a_{3}a_{5}-1$, $(a_{5})^{2}= a_{4}a_{6}+1$ [/mm] usw. usf.

Ob man den Folgenindex mit $n$ oder $k$ bezeichnet, ist hier gleichgültig. Es wäre aber sicher besser, wenn man eine einheitliche Schreibweise gewählt hätte.

Der Tip lautet dann [mm] $$(a_{k})^{2}= a_{k-1}a_{k+1}+(-1)^{k-1}$ [/mm] für $k>1$ und zu zeigen ist, dass [mm] $\frac{a_{k+1}}{a_{k}}- \frac{a_{k}}{a_{k-1}}$, [/mm] $k>1$ eine Nullfolge ist.

>  Also da sind ja diese k noch dabei
> Danke
>  


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Bezug
Beweis einer Nullfolge führen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 So 11.12.2016
Autor: Lillilein

Oh je ja das stimmt Dankeschön

Ich habe den Tipp jetzt eingesetzt und das razsbekommen
... = [mm] 1^{n-1}/(a_{n-1}×a_{n} [/mm] = [mm] 1/a_{n-1}×a_{n} [/mm]

Ich weiß noch dass 1/n gegen 0 konvergiert...langt es also das so stehen zu lassen oder kann man noch irgendwie weiter rechnen...
Danke

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Beweis einer Nullfolge führen: Bitte löschen!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:06 So 11.12.2016
Autor: X3nion


Bezug
                                                        
Bezug
Beweis einer Nullfolge führen: Bitte ebenso löschen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 So 11.12.2016
Autor: X3nion


Bezug
                                                        
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Beweis einer Nullfolge führen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:24 So 11.12.2016
Autor: X3nion

Hallo Lillilein,

das Forum hat gerade einen Hänger, ich versuche dennoch, dir zu antworten.

Der von dir resultierende Bruch ist - sofern ich mich nicht verrechnet habe - nicht ganz richtig. Es sollte

[mm] \frac{(-1)^{n}}{a_{n-1}a_{n}} [/mm] herauskommen.

Den Rechenweg kann ich dir gerade nicht schreiben, da der Formeleditor nicht funktioniert.


Zeige nun, dass die Folge [mm] a_{n} [/mm] der Fibonacci-Zahlen divergiert.
Fällt dir dazu ein geeignetes Beweisverfahren ein?

VG X3nion



Bezug
                                                        
Bezug
Beweis einer Nullfolge führen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:38 Mo 12.12.2016
Autor: hippias

Nein, es genügt nicht, diesen - bzw. den verbesserten - Bruch hinzuschreiben, besonders, wenn Du Dir nicht sicher bist: dann solltest Du Dir immer einen Beweis überlegen. Schliesslich sollst DU es verstanden haben.

Um den Beweis abzuschliessen genügt es zeigen, dass die Fibonacci-Folge unbeschränkt wächst (Divergenz zu zeigen, wäre nicht ausreichend). Dazu finde und beweise eine geeignete Abschätzung der Folgeglieder.

Oder Du zeigst, dass die Fibonacci-Folge eine Folge streng monoton wachsender natürlicher Zahlen ist und überlegst Dir dann, dass daraus folgt, dass die Folge unbeschränkt wächst.



Bezug
                                                                
Bezug
Beweis einer Nullfolge führen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:41 Mo 12.12.2016
Autor: X3nion


> Um den Beweis abzuschliessen genügt es zeigen, dass die Fibonacci-Folge
> unbeschränkt wächst (Divergenz zu zeigen, wäre nicht ausreichend). Dazu
> finde und beweise eine geeignete Abschätzung der Folgeglieder.

Sorry, ich meinte "bestimmt divergent gegen unendlich!

Am besten zeigt man, wie hippias sagt, dass die Folge der Fibonacci-Zahlen unbeschränkt wächst, denn dann ist sie bestimmt divergent gegen unendlich.

Wenn du dir die Folgenglieder der Fibonacci--Zahlen anschaust:
Welche Glieder enthält sie? Und kennst du eine Folge, welche die Fibonacci-Zahlen enthält und die über alle Grenzen wächst?


VG X3nion

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