Beweis einer Ungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:29 Di 01.11.2005 | | Autor: | Welpe |
Hallo an alle,
komme hier leider mit der einen Analysisaufgabe nicht weiter.
Ich muss die Ungleichung [mm] a^4 [/mm] + [mm] b^4 [/mm] + [mm] c^4 [/mm] + [mm] d^4 \ge [/mm] 4abcd, wobei a - d Elemente eines angeordneten Körpers sind, beweisen.
Ich hatte mir nun überlegt, dass ich ja bereits weiß (weil ich es vorher schon bewiesen hatte), dass [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 \ge [/mm] 2ab ist. Dann ist auch [mm] a^4 [/mm] + [mm] b^4 \ge [/mm] 2ab. Somit auch [mm] c^4 [/mm] + [mm] d^4 \ge [/mm] 2cd. Nun kann ich daraus ja schließen, dass [mm] a^4 [/mm] + [mm] b^4 [/mm] + [mm] c^4 [/mm] + [mm] d^4 \ge [/mm] 2ab + 2cd ist. Wäre hier anstatt des Pluses ein Mal, wäre die Aufgabe ja gelöst, aber ich weiß nicht, wie ich das wegbekomme. Kann mir vielleicht einer helfen, oder sagen, wo mein Fehler liegt?
Danke schon mal im Voraus!!
|
|
| |
|
Du kannst ja nun versuchen zu beweisen, daß 4abcd [mm] \ge [/mm] 2ab + 2cd.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Welpe |
Danke erst mal :).
Ich hab das nun versucht zu beweisen. Also, wenn 4abcd [mm] \ge [/mm] 2ab + 2cd ist, ist das äquivalent zu 2abcd + 2abcd [mm] \ge [/mm] 2ab + 2cd. Nun kann man die 2 kürzen. Dann erhält man abcd + abcd [mm] \ge [/mm] ab + cd. Daraus folgt abcd [mm] \ge [/mm] ab und abcd [mm] \ge [/mm] cd. Was natürlich wahr ist. Allerdings verwirrt mich, dass man jetzt zwar weiß, dass 4abcd größer ist, aber nicht weiß, dass es auch kleiner als [mm] a^4 [/mm] + [mm] b^4 [/mm] + [mm] c^4 [/mm] + [mm] d^4 [/mm] sein muss. Denn nur weil es 2ab + 2cd war, muss es ja nicht 4abcd sein oder? Vielen Dank für die Hilfe.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Zunächst mal ist deine Bemerkung vollkommen richtig. Aus $a>b$ und $c>b$ kann man keineswegs $a>c$ schließen.
Davon mal ganz abgesehen gilt [mm] $a^4+b^4\ge [/mm] 2ab$ nicht - setze z.B. [mm] $a=b=\bruch [/mm] 12$.
> Also, wenn 4abcd [mm]\ge[/mm]
> 2ab + 2cd ist, ist das äquivalent zu 2abcd + 2abcd [mm]\ge[/mm] 2ab
> + 2cd. Nun kann man die 2 kürzen. Dann erhält man abcd +
> abcd [mm]\ge[/mm] ab + cd. Daraus folgt abcd [mm]\ge[/mm] ab und abcd [mm]\ge[/mm] cd.
> Was natürlich wahr ist.
Was natürlich nicht wahr ist! Aus [mm] $2a\ge [/mm] b+c$ folgt keineswegs [mm] $a\ge [/mm] b$! Setze z.B. $a=1,b=2,c=0$...
Mit der Formel [mm] $2ab\le a^2+b^2$ [/mm] liegst du allerdings schon ganz richtig. Der Trick ist, sie zweimal auf $4abcd$ anzuwenden... Hast du jetzt eine Idee?
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Welpe |
Hallo Banachella,
danke erstmal. Natürlich hast du Recht; hatte gar nicht mehr an die Brüche gedacht, weil wir zur Zeit nur die natürlichen Zahlen kennen dürfen. Jetzt bin ich aber leider völlig überfragt, da ja nun keiner meiner Ansätze mehr stimmen kann. Ich verstehe leider auch nicht, wie ich [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 \ge [/mm] 2ab zweimal anwenden soll. Man wüsste dann höchstens auch, dass [mm] c^2 [/mm] + [mm] d^2 \ge [/mm] 2cd ist. 2ab * 2cd wäre dann ja genau 4abcd, aber leider versteh ich nicht, wie ich zu einer Multiplikation der beiden komme. Oder bin ich schon wieder in einer vollkommen falschen Richtung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Do 03.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Welpe!
Ich denke nach Didis Verlinkung können wir die Aufgabe als erledigt ansehen. Oder? 
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:24 Do 03.11.2005 | | Autor: | Didi |
Hallo,
Die Aufgabe ist hier schon mal gestellt worden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Welpe |
Danke, damit wurde es natürlich beantwortet. Hatte es über die Suche leider nicht früher gefunden. Also danke nochmal :).
MfG, Welpe
|
|
|
|
