matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenAnalysis des R1Beweis einer Ungleichung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Analysis des R1" - Beweis einer Ungleichung
Beweis einer Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweis einer Ungleichung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:17 Do 05.10.2006
Autor: Vertex

Aufgabe
Für welche n [mm] \in \IN [/mm] ist

[mm] n^{3}>3n^{2}+n+1 [/mm]

Hallo zusammen,

obige Aufgabe gilt es zu lösen.

Durch ein wenig probieren, habe ich herausgefundenh das die Ungleichung für [mm] n\ge4 [/mm] gilt.
Da probieren ja nun nicht ausreicht, habe ich folgenden Beweis mittels vollständiger Induktion geführt.

Induktionsanfang mit n=4

[mm] 4^{3}>3*4^{2}+4+1 [/mm]
64>3*16+5
64>48+5
64>53  [mm] \Rightarrow [/mm]  wahre Aussage

Induktionsschritt von n=4 auf n+1
Es gelte die Induktionsannahme: [mm] n^{3}>3n^{2}+n+1 [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] und n [mm] \ge [/mm] 4
Es muss gelten:
[mm] (n+1)^{3}>3*(n+1)^{2}+(n+1)+1 [/mm]

Durch ausmultiplizieren und umstellen der Ungleichgung kommen wir nach ein paar Schritten auf:

[mm] n^{3}>3n^{2}+n+1 [/mm]  - [mm] 3(n^{2}-n-1) [/mm]

Dort steht nun im Prinzip unsere Induktionsannahme minus "etwas" auf der rechten Seite.
Ich definiere jetzt:

a:= [mm] n^{3} [/mm]
b:= [mm] 3n^{2}+n+1 [/mm]
c:= [mm] 3(n^{2}-n-1) [/mm]

Laut unserer Induktionsannahme gilt:

a>b

Ferner gilt für alle n [mm] \in \IN [/mm] und n [mm] \ge [/mm] 4

c>0

Daraus folgt:
b-c < b < a
Damit wäre doch bewiesen das die Ungleichung für [mm] n\ge4 [/mm] gilt.

Ist das bis hier hin so korrekt und kann ich einfach behaupten c>o ohne es zu beweisen?

Darüber hinaus muss ich um die Aufgabe komplett zu lösen nun auch noch zeigen das die Ungleichung für alle n<4 falsch ist und genau da komme ich nicht weiter.

Wie kann ich das machen?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweis einer Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:00 Do 05.10.2006
Autor: M.Rex

Hallo

> Für welche n [mm]\in \IN[/mm] ist
>  
> [mm]n^{3}>3n^{2}+n+1[/mm]
>  Hallo zusammen,
>  
> obige Aufgabe gilt es zu lösen.
>
> Durch ein wenig probieren, habe ich herausgefundenh das die
> Ungleichung für [mm]n\ge4[/mm] gilt.
>  Da probieren ja nun nicht ausreicht, habe ich folgenden
> Beweis mittels vollständiger Induktion geführt.
>  
> Induktionsanfang mit n=4
>  
> [mm]4^{3}>3*4^{2}+4+1[/mm]
>  64>3*16+5
>  64>48+5
>  64>53  [mm]\Rightarrow[/mm]  wahre Aussage
>  
> Induktionsschritt von n=4 auf n+1
>  Es gelte die Induktionsannahme: [mm]n^{3}>3n^{2}+n+1[/mm] für alle
> n [mm]\in \IN[/mm] und n [mm]\ge[/mm] 4
>  Es muss gelten:
>  [mm](n+1)^{3}>3*(n+1)^{2}+(n+1)+1[/mm]
>  
> Durch ausmultiplizieren und umstellen der Ungleichgung
> kommen wir nach ein paar Schritten auf:
>  
> [mm]n^{3}>3n^{2}+n+1[/mm]  - [mm]3(n^{2}-n-1)[/mm]
>  
> Dort steht nun im Prinzip unsere Induktionsannahme minus
> "etwas" auf der rechten Seite.
>  Ich definiere jetzt:
>  
> a:= [mm]n^{3}[/mm]
>  b:= [mm]3n^{2}+n+1[/mm]
>  c:= [mm]3(n^{2}-n-1)[/mm]
>  
> Laut unserer Induktionsannahme gilt:
>  
> a>b
>  
> Ferner gilt für alle n [mm]\in \IN[/mm] und n [mm]\ge[/mm] 4
>  
> c>0
>  
> Daraus folgt:
>  b-c < b < a
>  Damit wäre doch bewiesen das die Ungleichung für [mm]n\ge4[/mm]
> gilt.
>  
> Ist das bis hier hin so korrekt?

Yep.

> und kann ich einfach  behaupten c>o ohne es zu beweisen?

Nein, es sei denn, es ist schon irgendwo im Skript oder bei einer Übungsaufgabe bewiesen worden, dass 0<n²-n-1 für alle [mm] n\in\IN|n\ge4. [/mm]

>
> Darüber hinaus muss ich um die Aufgabe komplett zu lösen
> nun auch noch zeigen das die Ungleichung für alle n<4
> falsch ist und genau da komme ich nicht weiter.

Nun [mm] n\in\IN, [/mm] war Voraussetzung. Und jetzt suchst du alle n<4. Wieviele gibt es denn davon? Und könnte man das nicht stumpf ausrechnen?



Marius

Bezug
                
Bezug
Beweis einer Ungleichung: Dankesehr
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:15 Do 05.10.2006
Autor: Vertex

Danke dir fürs Durchsehen meiner Lösung.
Der Beweis von c>0 ist ja nun auch recht schnell gemacht.

Das bei n [mm] \in \IN [/mm] und n<4  nicht viel übrig bleibt ist klar. Ich dachte mir nur das ein allgemeiner Beweis mehr hermacht als "stumpf ausrechnen".
Final ist bewiesen was zu beweisen war und damit soll sich der Prof. zufrieden geben :)

Vielen Dank nochmal,
Gruss, Vertex

Bezug
                        
Bezug
Beweis einer Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:21 Do 05.10.2006
Autor: M.Rex


> Das bei n [mm]\in \IN[/mm] und n<4  nicht viel übrig bleibt ist
> klar. Ich dachte mir nur das ein allgemeiner Beweis mehr
> hermacht als "stumpf ausrechnen".
> Final ist bewiesen was zu beweisen war und damit soll sich
> der Prof. zufrieden geben :)
>  

Ich möchte dazu malunseren Prof zitieren:
"Ausrechnen ist der Weg zur Wahrheit"

> Vielen Dank nochmal,
>  Gruss, Vertex

Bitte

Marius

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]