Beweis eines Ringes < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 So 21.11.2010 | | Autor: | FIN10 |
| Aufgabe | Sei (R,+,*) ein Ring und A [mm] \not= \emptyset [/mm] eine Menge.
Bezeichne [mm] R^A= [/mm] { f: A [mm] \to [/mm] R | f Abb} die Menge aller Abbildungen von A in R. Für f,g [mm] \in R^A [/mm] seien die inneren Verknüpfungen
f [mm] \oplus [/mm] g : A [mm] \to [/mm] R | x [mm] \mapsto [/mm] f(x) + g(x) = (f [mm] \oplus [/mm] g)(x) ("punktweise Addition") und
f [mm] \otimes [/mm] g : A [mm] \to [/mm] R | x [mm] \mapsto [/mm] f(x)*g(x) = (f [mm] \otimes [/mm] g)(x) ("punktweise Multiplikation")
mit den Operationen + und * aus (R,+,*) definiert.
Zeigen Sie, dass [mm] (R^A, \oplus, \otimes) [/mm] ein Ring ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebe Helfe und Helferinnen, meine Frage ist, wie ich diesen Ring beweise. Bei (R,+,*) wei ich es. Im Prinzip erst beweisen, dass (R,+) eine abelsche Gruppe ist,also a+b=b+a
und dass (R,*) eine Halbgruppe ist, also a* a^-1 = e und e *a = a (es existiertneutrales Element).
Doch wie beweise ich dies mit Verknüpfngen von Funktionen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 So 21.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
Du zeigst, daß [mm] $(R^A,\oplus)$ [/mm] eine Abelsche Gruppe ist.
[mm] $R^A$ [/mm] ist eine Menge mit Elementen, die halt auch Abbildungen sind, aber das macht sie auch nicht anders als andere Mengen.
Bsp:
$e=e(x)=0,\ [mm] \forall x\in [/mm] A$
Wählen wir uns ein Element a aus [mm] $R^A$, [/mm] dann gilt [mm] $a\oplus [/mm] e$ ist die Funktion
[mm] $x\mapsto (a\oplus [/mm] e)(x)=a(x)+e(x)=a(x)$
und das ist $a:\ [mm] x\mapsto [/mm] a(x)$, also [mm] $a\oplus [/mm] e=a$
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 So 21.11.2010 | | Autor: | FIN10 |
Vielen Dank. Das hilf mir auf jeden Fll schonmal weiter!
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