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Forum "Funktionen" - Beweis eines Satzes
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Beweis eines Satzes: Kontrolle, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:01 Do 04.08.2016
Autor: Windbeutel

Aufgabe
Beweise den Satz:
Es sei f: [mm] X\to [/mm] Y bijektiv. Dann ist

I) [mm] f^{-1} \circ [/mm] f die identische Abbildung auf X, es gilt also ( [mm] f^{-1} \circ [/mm] f )(x) = x für alle x [mm] \in [/mm] X, und

II) f [mm] \circ f^{-1} [/mm] die identische Abbildung auf Y, es gilt also ( f [mm] \circ f^{-1})(y) [/mm] = y für alle y [mm] \in [/mm] Y.

Hallo,
Ich habe mich mal um die oben dargestellte Aufgabe bemüht, bin  mir aber etwas unsicher.

Mein Versuch sieht so aus:

Nun gilt aber f(x) = y; und somit
[mm] f^{-1}(f(x)) [/mm]
Wegen der injektivität gilt dann
= [mm] f^{-1}(y) [/mm]
und wegen der surjektivität
= x.

Da f(y) = x, gilt auch
[mm] f(f^{-1}(y)) [/mm]
Wegen der surjektivität gilt dann
= f(x)
und wegen der Injektivität
= x.

Entweder ist der Beweis wirklich so banal, oder ich habe mich total verfranzt.
Mir fällt momentan absolut keine andere Methode zur Beweisführung ein, und ich bin mir nichteinmalsicher, ob meine Idee als Beweis ok ist.

Bin für jede Hilfe dankbar.
Grüße

        
Bezug
Beweis eines Satzes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:36 Do 04.08.2016
Autor: fred97


> Beweise den Satz:
>  Es sei f: [mm]X\to[/mm] Y bijektiv. Dann ist
>  
> I) [mm]f^{-1} \circ[/mm] f die identische Abbildung auf X, es gilt
> also ( [mm]f^{-1} \circ[/mm] f )(x) = x für alle x [mm]\in[/mm] X, und
>  
> II) f [mm]\circ f^{-1}[/mm] die identische Abbildung auf Y, es gilt
> also ( f [mm]\circ f^{-1})(y)[/mm] = y für alle y [mm]\in[/mm] Y.

Das ist doch kein Satz, sondern die Definition(!) der Umkehrabbildung [mm] f^{-1} [/mm] !!

Wer hat den diese "Aufgabe" gestellt ?

Zu I): ist x [mm] \in [/mm] X, so ist f(x) [mm] \in [/mm] Y. Nach Definition(!) ist dann [mm] f^{-1}(f(x))=x. [/mm]

Ebenso ergibt sich II) sofort aus der Definition von [mm] f^{-1} [/mm]

FRED

>  Hallo,
> Ich habe mich mal um die oben dargestellte Aufgabe bemüht,
> bin  mir aber etwas unsicher.
>  
> Mein Versuch sieht so aus:
>  
> Nun gilt aber f(x) = y; und somit
>  [mm]f^{-1}(f(x))[/mm]
> Wegen der injektivität gilt dann
>  = [mm]f^{-1}(y)[/mm]
>  und wegen der surjektivität
>  = x.
>  
> Da f(y) = x, gilt auch
>  [mm]f(f^{-1}(y))[/mm]
> Wegen der surjektivität gilt dann
>  = f(x)
>  und wegen der Injektivität
>  = x.
>  
> Entweder ist der Beweis wirklich so banal, oder ich habe
> mich total verfranzt.
>  Mir fällt momentan absolut keine andere Methode zur
> Beweisführung ein, und ich bin mir nichteinmalsicher, ob
> meine Idee als Beweis ok ist.
>  
> Bin für jede Hilfe dankbar.
>  Grüße


Bezug
                
Bezug
Beweis eines Satzes: Umkehrrelation
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:43 Do 04.08.2016
Autor: hippias

Fred, die Übung wird sinnvoll, wenn [mm] $f^{-1}$ [/mm] für die Umkehrrelation von $f$ steht.

Bezug
                
Bezug
Beweis eines Satzes: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:46 Fr 05.08.2016
Autor: Windbeutel

Hallo,

zu deiner Frage. Der Verfasser dieser Frage heißt Kevin Houston.
Leider hat er auf die Verfängliche Schreibweise erst im Folgekapitel hingewiesen, und von selbst bin ich nicht draufgekommen.
Entschuldige

Bezug
        
Bezug
Beweis eines Satzes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:42 Do 04.08.2016
Autor: hippias

Der Beweis ist ziemlich banal, aber ich finde, dass man es besser aufschreiben könnte (es ist z.B. ungünstig den Beweis mit "nun gilt aber" anzufangen: wozu sollte das ein Gegensatz sein?).

Wie auch immer: gerade bei solch "trivialen" Aussagen ist es oft nützlich sich strikt an die Definitionen zu halten. Zur Erinnerung [mm] $f^{-1}$ [/mm] ist die Umkehrrelation der Funktion $f$ d.h. [mm] $f^{-1}= \{(y,x)| f(x)= y\}$ [/mm] und verknüpft werden die Relationen gemäss [mm] $(u,v)\in f^{-1}\circ f\iff \exists w\:(u,w)\in f\text{ und } (w,v)\in f^{-1}$. [/mm]

Nun ist zu zeigen [mm] $f^{-1}\circ [/mm] f= [mm] \{(x,x)| x\in X\}$. [/mm]

Sei dazu [mm] $(u,v)\in f^{-1}\circ [/mm] f$. Z.Z. $u=v$. Es existiert [mm] $w\in [/mm] Y$ mit [mm] $(u,w)\in [/mm] f$ und [mm] $(w,v)\in f^{-1}$. [/mm] Da $f$ ein Funktion ist, gibt es genau ein $w$ mit [mm] $(u,w)\in [/mm] f$, nämlich $w= f(u)$. Insbesondere ist dann nach Definition [mm] $(w,u)\in f^{-1}$. [/mm]

Da $f$ injektiv ist, gibt es höchstens ein $v$ mit [mm] $(w,v)\in f^{-1}$, [/mm] sodass $v= u$ folgt.

Die andere Inklusion folgt sofort aus der Definition: es gilt [mm] $(x,x)\in f^{-1}\circ [/mm] f$, weil [mm] $(x,f(x))\in [/mm] f$ und [mm] $(f(x),x)\in f^{-1}$. [/mm]

Versuche es für die zweite Aussage.

Bezug
                
Bezug
Beweis eines Satzes: Versuch an der zweiten Aussage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:15 Mo 08.08.2016
Autor: Windbeutel

Aufgabe
s.o.

Deine Vorgabe für die erste Aussage habe ich mir erschlossen. Jetzt hoffe ich mal, es ist mir gelungen das ganze auf die zweite Aussage anzuwenden :


Zu zeigen ist, dass  [mm] f\circ f^{-1}= \{(y,y)| y\in Y\} [/mm] .

Sei dazu $ [mm] (v,u)\in f\circ f^{-1} [/mm] $. Z.Z. $ v=u $.

Es existiert $ [mm] w\in [/mm] X $ mit $ [mm] (w,u)\in f^{-1} [/mm] $ und $ [mm] (w,v)\in [/mm] f $.

Es gibt genau ein $ w $ mit $ [mm] (w,u)\in f^{-1} [/mm] $, nämlich $ u= f(w) $.

Dann ist nach Definition $ [mm] (u,w)\in [/mm] f $

Da $ [mm] f^{-1} [/mm] $ injektiv ist, gibt es höchstens ein $ w $ mit $ [mm] (w,v)\in [/mm] f $, sodass $ u= v $ folgt.

Es gilt $ [mm] (y,y)\in f\circ f^{-1} [/mm] $, weil $ [mm] (y,f(y))\in f^{-1} [/mm] $ und $ [mm] (f(y),y)\in [/mm] f $.

Liege ich richtig, oder ist mir irgendwo ein Denkfehler unterlaufen?

Lieb Grüße und Danke im voraus

Bezug
                        
Bezug
Beweis eines Satzes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:36 Do 11.08.2016
Autor: hippias

Meiner Ansicht nach hast Du hier ein paar Schreibfehler. Auch wurde die Surjektivität nirgends(?) benutzt, die aber notwendig ist.

Im einzelnen:

> s.o.
>  Deine Vorgabe für die erste Aussage habe ich mir
> erschlossen. Jetzt hoffe ich mal, es ist mir gelungen das
> ganze auf die zweite Aussage anzuwenden :
>  
>
> Zu zeigen ist, dass  [mm]f\circ f^{-1}= \{(y,y)| y\in Y\}[/mm] .
>
> Sei dazu [mm](v,u)\in f\circ f^{-1} [/mm]. Z.Z. [mm]v=u [/mm].
>  
> Es existiert [mm]w\in X[/mm] mit [mm](w,u)\in f^{-1}[/mm] und [mm](w,v)\in f [/mm].
>

Ich nehme an, Du wendest die Funktionen von innen nach aussen an. Dann müsste es heissen: Es existiert [mm] $w\in [/mm] X$ mit [mm] $(v,w)\in f^{-1}$ [/mm] und [mm] $(w,u)\in [/mm] f $; das $w$ wird zwischen $v$ und $u$ geschaltet. Zuerst kommt das Argument, dann die Ordinate.

> Es gibt genau ein [mm]w[/mm] mit [mm](w,u)\in f^{-1} [/mm], nämlich [mm]u= f(w) [/mm].

Das müsstest Du begründen!

>
> Dann ist nach Definition [mm](u,w)\in f[/mm]

Bezeichnung; s.o.

>  
> Da [mm]f^{-1}[/mm] injektiv ist, gibt es höchstens ein [mm]w[/mm] mit
> [mm](w,v)\in f [/mm], sodass [mm]u= v[/mm] folgt.
>
> Es gilt [mm](y,y)\in f\circ f^{-1} [/mm], weil [mm](y,f(y))\in f^{-1}[/mm]
> und [mm](f(y),y)\in f [/mm].

Speziell über diese Inklusion solltest Du nocheinmal nachdenken.

>  
> Liege ich richtig, oder ist mir irgendwo ein Denkfehler
> unterlaufen?

Damit Du nicht unsicher wirst wie ich gerade: In dem Teil [mm] $(v,u)\in f\circ f^{-1}\Rightarrow [/mm] v=u$ wird nur benötigt, dass $f$ eine Funktion ist. Für [mm] $(v,v)\in f\circ f^{-1}$ [/mm] wird die Surjektivität benutzt.

>  
> Lieb Grüße und Danke im voraus


Bezug
                                
Bezug
Beweis eines Satzes: Total durcheinander
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:04 Do 18.08.2016
Autor: Windbeutel

Aufgabe
s.o.

Hallo, entschuldige die späte Reaktion

leider blick ich jetzt garnichts mehr. Dass ich da einen Fehler bei der Zuordnung von v, u und w hatte konnte ich anhand eine Venn Diagramms noch nachvollziehen.

Nun habe ich mich aber in diese Aufgabe verbissen und will erfahren, wie die Lösung lautet und funktioniert, also nächster Versuch:

Zu zeigen ist, dass f [mm] \circ f^{-1} [/mm] = {(y,y)|y} in Y
Sei dazu (v,u) [mm] \in [/mm] f [mm] \circ f^{-1}, [/mm] dann ist zu zeigen, dass v = u.

Hier sollte ich nun zeigen, dass f eine Funktion ist, wobei mir nicht ganz klar ist, wie ich dies hinbekomme. Prinzipiell müsste ich wohöl zeigen, dass einem Element der MengeX ein Element der Menge Y durch f zugeordnet wird
Ich dachte das hätte ich durch w [mm] \in [/mm] X mit (v,w) [mm] \in f^{-1} [/mm] und u = f(w) hinbekommen?

Dann ist [mm] (w,u)\in [/mm] f.
Da [mm] f^{-1} [/mm] injektiv ist, gibt es höchstens ein w mit (w,u) [mm] \in [/mm] f, so dass u = v folgt
Es gilt dann (y,y)  [mm] \in [/mm] f [mm] \circ f^{-1}, [/mm] weil Surjektivität vorliegt.
Dies zeige ich wie folgt:
Ich nehme ein y aus dem Bildbereich, für das gilt y = f(w). Somit gilt (y,f(w)) = [mm] (y,y)\in f^{-1} [/mm] und (f(w),y) [mm] \in [/mm] f.

Ich zweifle selbst an der Richtigkeit, aber nach dutzenden Diagrammen und angestrengten Stunden kommt da nicht mehr raus. Evtl. sollte ich mich beim Autor der Aufgaben mal per mail dafür bedanken, dass er keine Lösungen herausgegeben hat.

Bin nach wie vor für jede Hilfe dankbar.

Bezug
                                        
Bezug
Beweis eines Satzes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 Do 18.08.2016
Autor: hippias

Alles kein Problem. Vielleicht denke ich auch zu kompliziert, weil ich nicht weiss, was der Autor voraussetzen kann.

Ich beweise die Behauptung jetzt, kommentiere aber auch Deinen Beweis unten.

Bisher: 1. [mm] $f:X\to [/mm] Y$ ist eine Funktion, d.h.
i) [mm] $f\subseteq X\times [/mm] Y$
[mm] ii)$\forall x\in [/mm] X [mm] \forall y,y'\in [/mm] Y$ gilt: wenn [mm] $(x,y),(x,y')\in [/mm] f$, so folgt $y= y'$
iii) [mm] $\forall x\in X\exists y\in [/mm] Y$ [mm] $(x,y)\in [/mm] f$

2. $f$ ist injektiv, d.h [mm] $\forall x,x'\in X\forall y\in [/mm] Y$ gilt: wenn $(x,y), [mm] (x',y)\in [/mm] f$, so gilt $x= x'$.

3. $f$ ist surjektiv, d.h [mm] $\forall y\in Y\exists x\in [/mm] X$ mit [mm] $(x,y)\in [/mm] f$.

4. [mm] $f^{-1}= \{(y,x)\in Y\times X|(x,y)\in f\}$. [/mm]

Man könnte jetzt auch erst zeigen, dass [mm] $f^{-1}$ [/mm] eine Bijektion ist, aber ich möchte den bereits eingeschlagenen Weg weiterverfolgen.

Sei [mm] $(u,v)\in f\circ f^{-1}$, $u,v\in [/mm] Y$. Dann gibt es nach Definition ein [mm] $w\in [/mm] X$ mit [mm] $(u,w)\in f^{-1}$ [/mm] und [mm] $(w,v)\in [/mm] f$. Aus der Definition von [mm] $f^{-1}$ [/mm] folgt, dass [mm] $(w,u)\in [/mm] f$. Aus Eigenschaft ii) folgt nun $u= v$.

Sei nun [mm] $y\in [/mm] Y$. Da $f$ surjektiv ist, existiert ein [mm] $x\in [/mm] X$ mit [mm] $(x,y)\in [/mm] f$. Nach Definition von [mm] $f^{-1}$ [/mm] ist dann [mm] $(y,x)\in f^{-1}$, [/mm] sodass wiederum aus der Definition der Hintereinanderausführung von Relationen folgt, dass [mm] $(y,y)\in f\circ f^{-1}$ [/mm] ist.

Zuweit mein Beweis.
[...]  

> Zu zeigen ist, dass f [mm]\circ f^{-1}[/mm] = {(y,y)|y} in Y
>  Sei dazu (v,u) [mm]\in[/mm] f [mm]\circ f^{-1},[/mm] dann ist zu zeigen,
> dass v = u.
>  
> Hier sollte ich nun zeigen, dass f eine Funktion ist, wobei
> mir nicht ganz klar ist, wie ich dies hinbekomme.

Nein, $f$ ist als Funktion vorausgesetzt; jedenfalls steckt dies meiner Ansicht nach in "Bijektion".

> Prinzipiell müsste ich wohöl zeigen, dass einem Element
> der MengeX ein Element der Menge Y durch f zugeordnet wird
>  Ich dachte das hätte ich durch w [mm]\in[/mm] X mit (v,w) [mm]\in f^{-1}[/mm]
> und u = f(w) hinbekommen?
>  
> Dann ist [mm](w,u)\in[/mm] f.
>  Da [mm]f^{-1}[/mm] injektiv ist, gibt es höchstens ein w mit (w,u)
> [mm]\in[/mm] f, so dass u = v folgt

Hier könntest Du ausführen, weshalb [mm] $f^{-1}$ [/mm] injektiv ist; es stimmt ja, steht aber nicht in der Voraussetzung.

>  Es gilt dann (y,y)  [mm]\in[/mm] f [mm]\circ f^{-1},[/mm] weil
> Surjektivität vorliegt.
>  Dies zeige ich wie folgt:
>  Ich nehme ein y aus dem Bildbereich, für das gilt y =
> f(w). Somit gilt (y,f(w)) = [mm](y,y)\in f^{-1}[/mm] und (f(w),y)
> [mm]\in[/mm] f.

Nein, [mm] $(y,y)\in [/mm] f$ bzw. [mm] $(y,y)\in f^{-1}$ [/mm] kann i. a. nicht stimmen, da z.B. bei $f$ die erste Koordinate aus $X$ kommt. Im Übrigen war [mm] $(y,y)\in f\circ f^{-1}$ [/mm] zu zeigen und nicht  [mm] $(y,y)\in [/mm] f$ und [mm] $(y,y)\in f^{-1}$. [/mm] Daher wäre der Beweis an Stelle nicht vollständig.

>  
> Ich zweifle selbst an der Richtigkeit, aber nach dutzenden
> Diagrammen und angestrengten Stunden kommt da nicht mehr
> raus. Evtl. sollte ich mich beim Autor der Aufgaben mal per
> mail dafür bedanken, dass er keine Lösungen herausgegeben
> hat.
>  
> Bin nach wie vor für jede Hilfe dankbar.


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