Beweis eines Satzes < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien M1, M2, M3 beliebige Mengen und
R1: M1 [mm] \to [/mm] M2 bzw.
R2: M2 [mm] \to [/mm] M3.
Abbildungen.
Wenn R1 [mm] \circ [/mm] R2: M1 [mm] \to [/mm] M2 eine injektive (surjektive) Abbildung ist, dann ist R1 (R2) injektiv (surjektiv). |
Habe leider wieder mal keine Idee wie ich das beweisen soll... ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Es ist echt furchtbar!!
Na ja, ich habe mir erstmal überlegt welche Definitionen ich dafür verwenden würde.
Also als erstes die Def. der Surjektivität, Injektivität und Bijektivität:
R: M1 [mm] \to [/mm] M2 heißt
surjektiv, falls R rechtstotal
injektiv, falls R linseindeutig
bijektiv, falls R rechtstotal und linkseindeutig
Dann würde ich die Definition der Links-/Rechtstotalität verwenden:
Seien M1, M2 bel. Mengen und R [mm] \subseteq [/mm] M1 [mm] \times [/mm] M2 eine bel. Relation. R heißt links(rechts)total falls
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M1 [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] M2: (x,y) [mm] \in [/mm] R
[mm] (\forall [/mm] y [mm] \in [/mm] M2 [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M1: (y,x) [mm] \in [/mm] R)
Und dann würde ich noch die Def. det Links-/Rechtseindeutigkeit verwenden:
Seien M1, M2 bel. Mengen und R [mm] \subseteq [/mm] M1 [mm] \times [/mm] M2 eine bel. Relation. R heißt links(rechts)eindeutig falls
Jedem y [mm] \in [/mm] M2 (x [mm] \in [/mm] M1) höchstens eine x [mm] \in [/mm] M1 [mm] (y\in [/mm] M2) zugeordnet ist.
In Quantoren:
[mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] M2 [mm] \forall [/mm] x1, x2 [mm] \in [/mm] M1: (x1, y) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (x2, y) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] x1 = x2
[mm] (\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M1 [mm] \forall [/mm] y1, y2 [mm] \in [/mm] M2: (x, y1) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (x, y2) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rigtharrow [/mm] y1 = y2
Brauche ich jetzt auch noch die Def. von Verkettung von Relationen?
Def: Seien M1, M2 und M3 bel. Mengen und R1 [mm] \subseteq [/mm] M1 [mm] \times [/mm] M2 und R2 [mm] \subseteq [/mm] M2 [mm] \times [/mm] M1 bel. Relationen.
Die Verkettung von R1 und R2 ist die Relation
R1 [mm] \circ [/mm] R2 = {(x,z)|x [mm] \in [/mm] m1 [mm] \wedge [/mm] z [mm] \in [/mm] M3 [mm] \wedge \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] M2: (x,y) [mm] \in [/mm] R1 [mm] \wedge [/mm] (y,z) [mm] \in [/mm] R2} [mm] \subseteq [/mm] M1 [mm] \times [/mm] M2
Was genau ist jetzt der Teil der bewiesen werden muss?
R1 [mm] \circ [/mm] R2: M1 [mm] \to [/mm] M2 ist eine injektive (surjektive) Abbildung. --> Das ist meiner Meinung nach die Voraussetzung.
R1 (R2) ist injektiv (surjektiv). --> Das ist meiner Meinung nach die Folgerung und muss bewiesen werden.
Aber wie führe ich jetzt den Beweis? Wenn ich zeigen will, dass R1 bzw. R2 injektiv bzw. surjektiv ist, so muss ich doch zeigen, dass die o.g. Abbildung aus dem Satz linkseindeutig (für injektiv) und rechtstotal (für surjektiv) ist, oder?
Bin für jede Hilfe seeeeeehr dankbar.
LG
DarkAngel
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Hallo Luis!
Was meinst du denn mit "in deiner Aufgabe stimmt der Wertebereich nicht"?
So haben wir den Satz in der Vorlesung aufgeschrieben...
Wie kann ich denn dein f in der Definition interpretieren? Kann ich das mit y gleichsetzen? Oder womit kann ich das sonst aus meiner gegebenen Def. vergleichen?
LG
DarkAngel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Di 18.09.2007 | | Autor: | FxB |
https://matheraum.de/read?t=300078
ey leute , ich habe auch ne frage checkt mal mein topic ganz open plssssss
morgen klausur
helf mir mit den tangentennnn!!!
guckt oben
free d2 items für den gewinner !
https://matheraum.de/read?t=300078
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Di 18.09.2007 | | Autor: | holwo |
Hallo?
das ist nicht dein ernst oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Di 18.09.2007 | | Autor: | FxB |
https://matheraum.de/read?t=300078
ey leute , ich habe auch ne frage checkt mal mein topic ganz open plssssss
morgen klausur
helf mir mit den tangentennnn!!!
guckt oben
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https://matheraum.de/read?t=300078
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Di 18.09.2007 | | Autor: | luis52 |
> Hallo Luis!
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> Was meinst du denn mit "in deiner Aufgabe stimmt der
> Wertebereich nicht"?
>
> So haben wir den Satz in der Vorlesung aufgeschrieben...
Du schreibst Wenn R1 $ [mm] \circ [/mm] $ R2: M1 $ [mm] \to [/mm] $ M2 eine injektive (surjektive) Abbildung ist,... Es muss aber heissen:
Wenn R1 $ [mm] \circ [/mm] $ R2: M1 $ [mm] \to [/mm] $ M3 eine injektive (surjektive) Abbildung ist...
>
> Wie kann ich denn dein f in der Definition interpretieren?
$f$ steht fuer die Abbildung [mm] $f:M_1\to M_3$ [/mm] mit [mm] $x\mapsto R_2(R_1(x))$.
[/mm]
lgluis
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http://de.wikipedia.org/wiki/Injektivit%C3%A4t