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Forum "Vektoren" - Beweis eines Vektorraums
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Beweis eines Vektorraums: Lösungsweg?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 Mo 10.03.2008
Autor: michaell

Aufgabe
1. Überprüfen Sie, ob die Menge R³ \ [mm] \{ \vec{0} \} [/mm] mit $ [mm] \pmat{ a1 \\ a2 \\ a3 } [/mm] $ x $ [mm] \pmat{ b1 \\ b2 \\ b3 } [/mm] $ = $ [mm] \pmat{ a1 & b1 \\ a2 & b2 \\ a3 &b3 } [/mm] $ eine Gruppe darstellt.

2. Gegeben seine die zwei Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b} \in R^n (n\inN) [/mm] mit der komponentenweise Addition und der skalaren Multiplikation.
Beweisen sie, dass der [mm] R^n [/mm] bzgl. der angegebenen Operationen einen Vektorraum darstellt.

Aufgabe 1 habe ich schon ne Lösung, die ich allerdings noch nich so richtig verstehe, habe sie aber nur eingesetzt weil ich gard net sicher bin, ob die für 2 relevant sein kann. Verstehe das ganze net wirklich.


danke schonmal

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweis eines Vektorraums: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Mo 10.03.2008
Autor: angela.h.b.


> 1. Überprüfen Sie, ob die Menge R³ \ [mm]\{ \vec{0} \}[/mm] mit
> [mm]\pmat{ a1 \\ a2 \\ a3 }[/mm] x [mm]\pmat{ b1 \\ b2 \\ b3 }[/mm] = [mm]\pmat{ a1 & b1 \\ a2 & b2 \\ a3 &b3 }[/mm]
> eine Gruppe darstellt.
>
> 2. Gegeben seine die zwei Vektoren [mm]\vec{a}, \vec{b} \in R^n (n\inN)[/mm]
> mit der komponentenweise Addition und der skalaren
> Multiplikation.
>  Beweisen sie, dass der [mm]R^n[/mm] bzgl. der angegebenen
> Operationen einen Vektorraum darstellt.
>  Aufgabe 1 habe ich schon ne Lösung, die ich allerdings
> noch nich so richtig verstehe,

Hallo,

soll das bei Aufgabe 1 heißen: [mm] \pmat{ a1 \\ a2 \\ a3 }[/mm] [/mm] x [mm]\pmat{ b1 \\ b2 \\ b3 }[/mm] = [mm] \pmat{ a_1 *b_1 \\ a_2 *b_2 \\ a_3 *b_3 }[/mm] [/mm] ?
Hier mußt Du die Gruppenaxiome nachprüfen.


> weil ich gard net sicher bin, ob die für 2 relevant sein
> kann. Verstehe das ganze net wirklich.

Leider machst Du etwas spärliche Angaben dazu, an welcher Stelle Dein Unverständnis einsetzt.

In Aufgabe 2 hast Du eine Menge gegeben, nämlich den [mm] \IR^n [/mm] und zwei Verknüpfungen, die komponentenweise Addition und die Multiplikation mit Skalaren.

Wenn Du nun zeigen willst, daß das einen Vektorraum bildet, mußt Du sämtliche Vektorraumaxiome nachweisen. Kennst Du die denn? (Sonst ist es schwer, sie zu zeigen...)

Gruß v. Angela


Bezug
                
Bezug
Beweis eines Vektorraums: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:19 Mo 10.03.2008
Autor: michaell

Kennen schon aber kenne ist ja leider nicht wirklich verstehen.
Und bei Aufgabe 1 ist das wortwörtlich die Aufgabe, mehr stand da net.

Bezug
                        
Bezug
Beweis eines Vektorraums: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 Mo 10.03.2008
Autor: michaell

Ich weiß ja nicht wie aufwendig das ist, aber kann man die axiome anhand der aufgabe nicht mal durchgehen. Durch solche Beispiele lerne ich am ehesten.

lg Michael

Bezug
                                
Bezug
Beweis eines Vektorraums: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:28 Mo 10.03.2008
Autor: Bastiane

Hallo michaell!

> Ich weiß ja nicht wie aufwendig das ist, aber kann man die
> axiome anhand der aufgabe nicht mal durchgehen. Durch
> solche Beispiele lerne ich am ehesten.

Am meisten hilft es aber, wenn du die Ansätze machst, also ein Axiom postest und einsetzt, was du meinst, was da hin muss. Das hilft dir mehr, und der Helfer muss nicht erst die ganzen Axiome aufschreiben (und ich müsste z. B. auch erstmal schwer nachdenken, was denn genau die Axiome waren. [kopfkratz] Hätte ich sie direkt vor mir liegen, hätte ich dir glatt schon geantwortet. :-) Aber erst wieder lange nachdenken oder bei Wikipedia gucken - das dauert mir zu lange, da lerne ich lieber noch was...)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

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Beweis eines Vektorraums: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:26 Mo 10.03.2008
Autor: angela.h.b.


> Kennen schon aber kenne ist ja leider nicht wirklich
> verstehen.

Prinzipiell hat man bei einem Vektorraum eine Menge M, einen Körper(z.B. die reellen Zahlen) und zwei Verknüpfungen (eine zwischen zwei Mengenelementen und die andere zwischen Körper- und Mengenelement), welche bestimmten Gesetzen gehorchen. (Z.B. ist M mit der einen Verknüpfung eine Gruppe.)

Die Gültigkeit dieser Gesetze ist in Deiner Aufgabe nachzuweisen.

Du kannst die Körperaxiome (oder die ersten drei) ja mal aufschreiben, dann kann Dir jemand bei der Anwendung auf Dein Beispiel helfen.

>  Und bei Aufgabe 1 ist das wortwörtlich die Aufgabe, mehr
> stand da net.

Die Frage ist, ob im Ergebnis die Komponenten multipliziert werden. In Deinem Eingangspost sah das ja aucs wie eine 3*2-Matrix.

Gruß v. Angela


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Bezug
Beweis eines Vektorraums: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:38 Mo 10.03.2008
Autor: michaell

>> Die Frage ist, ob im Ergebnis die Komponenten multipliziert werden.

Also bei mir sind hier auch noch punkte dazwischen, daher würde ich mal davon ausgehen, dass es multipliziert wird ;)

Ok die ersten drei Axiome:

VA1 (Abgeschlossenheit der Addition):
Für alle [mm] \vec{a}, \vec{b} \inV [/mm] existiert genau ein [mm] \vec{c}, [/mm] so das gilt: [mm] \vec{c}=\vec{a}+\vec{b} [/mm]

VA2 (Assoziativ-Gesetz bzgl. der Addition):
Für alle [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \inV [/mm] gilt: [mm] (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}(\vec{b}+\vec{c}) [/mm]

VA3 (Neutrales Element bzgl +):
Es existiert genau ein [mm] \vec{0}\inV, [/mm] so dass für alle [mm] \vec{a}\inV [/mm] gilt: [mm] 0+\vec{a}=\vec{a}+0=\vec{a} [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Beweis eines Vektorraums: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:02 Mo 10.03.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> >> Die Frage ist, ob im Ergebnis die Komponenten
> multipliziert werden.
>  
> Also bei mir sind hier auch noch punkte dazwischen, daher
> würde ich mal davon ausgehen, dass es multipliziert wird
> ;)
>  
> Ok die ersten drei Axiome:
>  
> VA1 (Abgeschlossenheit der Addition):
>  Für alle [mm]\vec{a}, \vec{b} \inV[/mm] existiert genau ein
> [mm]\vec{c},[/mm] so das gilt: [mm]\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}[/mm]
>  
> VA2 (Assoziativ-Gesetz bzgl. der Addition):
>  Für alle [mm]\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \inV[/mm] gilt:
> [mm](\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}(\vec{b}+\vec{c})[/mm]
>  
> VA3 (Neutrales Element bzgl +):
>  Es existiert genau ein [mm]\vec{0}\inV,[/mm] so dass für alle
> [mm]\vec{a}\inV[/mm] gilt: [mm]0+\vec{a}=\vec{a}+0=\vec{a}[/mm]



Das ist irgendwie durcheinander.

Du schreibst, dass mit der Verknüpfung [mm] $\times$ [/mm] in Aufg 1 die komponentenweise Multiplikation gemeint ist, schreibst aber im Weiteren bei den Axiomen ein "+"

Das scheint mir ein Misch-Masch aus beiden Aufgaben zu sein

Die erste haben wir ja mit der anderen Antwort und eigentlich schon in dem anderen Diskussionsbeitrag von neulich abgehakt ;-)

Reden wir also über die 2.Aufgabe:

Da musst du zeigen, dass [mm] $\IR^n$ [/mm] ein Vektorraum über dem Körper [mm] $\IR$ [/mm] ist

Dh. zeige, dass [mm] $(\IR^n,+)$ [/mm] eine abelsche Gruppe ist und zeige die anderen Axiome, die die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation regeln

Halte dich an Angelas und Bastianes Tipp: Schreibe dir alle Axiome auf und rechne eines nach dem anderen nach

Wenn du irgendwo unsicher bist oder feststeckst, einfach nachfragen, aber du musst einfach mal starten. Halte dich einfach stur an das, was du gegeben hast und schaue, was du zeigen musst

Das ist zwar ein bisschen Schreibarbeit, übt aber den Umgang mit dem Nachweis solcher Definitionen/Axiome



Gruß

schachuzipus




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Bezug
Beweis eines Vektorraums: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:08 Mo 10.03.2008
Autor: michaell

Ok ich werds mal versuchen.
danke nochmal an alle

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Bezug
Beweis eines Vektorraums: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 Mo 10.03.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Michael,

ich hatte dir neulich zur 1.Aufgabe ne ganze Menge Hinweise gegeben, hatte die Gruppenaxiome aufgelistet und dir noch den Hinweis gegeben, dich mal auf die Abgeschlossenheit zu konzentrieren.

Die Menge in 1. bildet keine Gruppe, da eben genau die Abgeschlossenheit nicht erfüllt ist!

Frage: Wieso nicht?

zur 2. Aufgabe hast du ja mit den anderen Antworten schon genügend Hinweise.

Lieben Gruß

schachuzipus

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Beweis eines Vektorraums: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:41 Mo 10.03.2008
Autor: michaell

Ja klar, hatte es ja auch in erster Linie dabie gesetzt, weil ich mir grad unsicher war, ob es irgendeine Rolle für 2 spielt.
Aber wenn wir hier grad schon dran sind. Woran sehe ich denn das die abgeschlossenheit net erfüllt ist?
Weil es dazu addiert werden muss?
Sorry aber ich finde diese ganzen Axiome einfach nur verwirrend .

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Beweis eines Vektorraums: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:49 Mo 10.03.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Ja klar, hatte es ja auch in erster Linie dabie gesetzt,
> weil ich mir grad unsicher war, ob es irgendeine Rolle für
> 2 spielt.
>  Aber wenn wir hier grad schon dran sind. Woran sehe ich
> denn das die abgeschlossenheit net erfüllt ist?

Für Abgeschlossenheit müsste die Verknüpfung zweier beliebiger Vektoren [mm] $\vec{x},\vec{y}\in\IR^3\setminus\{\vec{0}\}$ [/mm] wieder in [mm] $\IR^3\setminus\{\vec{0}\}$ [/mm] liegen.

Kannst du 2 Vektoren [mm] $\neq\vec{0}$ [/mm] finden, deren Verknüpfung NICHT in [mm] $\IR^3\setminus\{\vec{0}\}$ [/mm] liegt?

Was bedeutet, dass ein Vektor NICHT in [mm] $\IR^3\setminus\{\vec{0}\}$ [/mm] liegt?

>  Weil es dazu addiert werden muss? [kopfkratz3]

Was wird denn da addiert? Die Verknüpfung ist doch eine komponentenweise Multiplikation

>  Sorry aber ich finde diese ganzen Axiome einfach nur
> verwirrend .

LG

schachuzipus

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