Beweis eines eines Grenzwertes < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] (a_{n (n \in \IN)}) [/mm] eine Folge mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = a. Zeigen Sie, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |a_{n}| [/mm] = |a| |
Hallo!
Ich bin gerade etwas auf der Leitung und wahrscheinlich kann ich mich nicht mehr gescheit konzentrieren, weil ich bald Prüfung habe, deshalb hoffe ich ihr könnt mir bei der Lösung dieses Bsps helfen.
Ich versteh nicht genau, wo ich hier anfangen soll. Ich hab ja nichts konkretes vorgegeben. Nur halt dass ich irgendeine Folge habe dir gegen a konvergiert... Wie beiweise ich, dass der Betrag von der Folge auch gegen den Betrag von a konvergiert?
Bitte um Hilfe! Danke im Voraus für Antworten.
LG
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> Sei [mm](a_{n (n \in \IN)})[/mm] eine Folge mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] = a. Zeigen Sie, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |a_{n}|[/mm] = |a|
> Hallo!
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> Ich bin gerade etwas auf der Leitung und wahrscheinlich
> kann ich mich nicht mehr gescheit konzentrieren, weil ich
> bald Prüfung habe, deshalb hoffe ich ihr könnt mir bei der
> Lösung dieses Bsps helfen.
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> Ich versteh nicht genau, wo ich hier anfangen soll. Ich hab
> ja nichts konkretes vorgegeben. Nur halt dass ich
> irgendeine Folge habe dir gegen a konvergiert... Wie
> beiweise ich, dass der Betrag von der Folge auch gegen den
> Betrag von a konvergiert?
Da [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a$ [/mm] ist, werden wir aufgrund dieser Kenntnis zu zeigen versuchen, dass es zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_0$ [/mm] gibt, so dass für alle [mm] $n>n_0$ [/mm] gilt: [mm] $\big||a_n|-|a|\big|<\varepsilon$.
[/mm]
Wir werden also versuchen müssen, diesen Betrag [mm] $\big||a_n|-|a|\big|$ [/mm] durch [mm] $|a_n-a|$ [/mm] nach oben zu begrenzen.
Nun ist es so, dass man aufgrund folgender Anwendung der Dreiecksungleichung
[mm]|a_n|=|(a_n-a)+a|\leq |a_n-a|+|a|[/mm]
und beidseitigem Subtrahieren von $|a|$ zeigen kann, dass [mm] $|a_n|-|a|\leq |a_n-a|$ [/mm] ist. Ganz analog zeigt man, dass auch [mm] $|a|-|a_n|\leq |a_n-a|$ [/mm] ist, also insgesamt
[mm]\big||a_n|-|a|\big|\leq |a_n-a|[/mm]
Somit liefert uns die vorausgesetzte Existenz des Limes [mm] $a=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n$ [/mm] den gesuchten Wert von [mm] $n_0$, [/mm] mit der Eigenschaft, dass für alle [mm] $n>n_0$ [/mm] gilt:
[mm]\big||a_n|-|a|\big|\leq |a_n-a| < \varepsilon[/mm]
was zu zeigen war.
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