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Forum "Determinanten" - Beweis für Determinanten
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Beweis für Determinanten: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:02 Fr 22.04.2005
Autor: DerDicki

Hallihallo!

Seit Stunden hänge ich an einem höchstwahrscheinlich einfachen Problem fest, nur ich komme einfach nicht auf die Lösung...

Die Aufgabe ist es, zu beweisen, daß die Determinante einer antisymmetrischen (n x n) Matrix immer Null sein muß, wenn n ungerade ist.

Der einzige Hinweis in der Aufgabenstellung war: "Vergleiche mit der Transponierten Matrix".

Da ich ja weiß, daß die Determinante einer Matrix gleich der Determinante der Transponierten Matrix ist, habe ich also versucht zu zeigen, daß sich die beiden im Vorzeichen unterscheiden. Nur leider ohne Erfolg...

Wie kriege ich diesen Beweis hin?

(Und nein, diese Frage habe ich (noch) in keinem anderen Forum gestellt, meine einzige andere Hoffnung wäre sonst noch das Forum von SelfHTML...)

Mit liebem Dank im Voraus und Hoffnung auf Antwort,

   Der Dicki

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweis für Determinanten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:05 Fr 22.04.2005
Autor: Stefan

Hallo Dicki (soll keine Beleidigung sein ;-))!

Die Frage ist sehr bekannt und wurde auch schon hier gestellt.

Allgemein gilt:

[mm] $\det(-A)=(-1)^n \cdot \det(A)$, [/mm]

wobei $n$ die Anzahl der Zeilen/Spalten von $A$ ist.

Weiterhin gilt, da $A$ antisymmetrisch (schiefsymmetrisch) ist:

[mm] $A^T=-A$. [/mm]

Und zudem haben wir

[mm] $\det(A^T) [/mm] = [mm] \det(A)$. [/mm]

Wenn du das alles zusammenbringst und beachtest, dass $n$ ungerade ist, was erhältst du dann?

Liebe Grüße
Stefan

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Bezug
Beweis für Determinanten: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:50 Fr 24.06.2005
Autor: X-Ray

hab ich damit wirklich gezeigt das für ungerade n [mm] \times [/mm] n det A=0 gilt?

ich verstehe es so das mit [mm] (-1)^n [/mm] eine alternierende folge eingebaut worden ist die einfach nur das vorzeichen der det. ändert?

hilft mir mal einer bei meinem denkfehler?

Bezug
                        
Bezug
Beweis für Determinanten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 Fr 24.06.2005
Autor: Christian

Hallo.

Ich glaube, da verstehst Du etwas falsch.
Prinzipiell gilt einfach: [mm] $\det(-a)=(-1)^n*\det(a)$ [/mm] für jede [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix $a_$.
Prinzipiell gilt auch [mm] $\det a=\det a^T$. [/mm]
Sei nun a antisymmetrisch, das bedeutet, es gilt [mm] $a^T=-a$. [/mm]
Also ist damit die Determinante von $a_$:
[mm] $\det [/mm] a = [mm] \det a^T [/mm] = [mm] \det(-a) [/mm] = [mm] (-1)^n*\det [/mm] a$, also zusammenfassend:
[mm] $\det [/mm] a = [mm] (-1)^n*\det [/mm] a$.
Falls nun n gerade ist, sagt uns diese Zeile gar nichts, denn dann ist [mm] (-1)^n=1. [/mm]
Falls n aber ungerade ist, dann ist [mm] $(-1)^n=-1$, [/mm] also steht da,
[mm] $\det [/mm] a = [mm] -\det [/mm] a$, oder eben [mm] $2\det [/mm] a=0$.
Alles klar?

Gruß,
Christian

Bezug
                                
Bezug
Beweis für Determinanten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:53 Fr 24.06.2005
Autor: mathedman


>  Falls n aber ungerade ist, dann ist [mm](-1)^n=-1[/mm], also steht
> da,
>  [mm]\det a = -\det a[/mm], oder eben [mm]2\det a=0[/mm].

<klugscheiss>
Jetzt muss nur noch [mm]\mathrm{char} K \neq 2[/mm] gelten.
</klugscheiss>


Bezug
                                        
Bezug
Beweis für Determinanten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:07 Sa 25.06.2005
Autor: Christian

[aufgemerkt] Ja, schon klar.
Habe das aber aus didaktischen Gründen außen vor gelassen.
Gibt ja net allzuviele Körper mit Charakteristik 2 :-)

Bezug
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