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Beweis für Produktdarstellung: Endliche abelsche p-Gruppe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 Di 05.09.2017
Autor: Marcel

Hallo,

unter []https://books.google.de/books?id=1XkrDwAAQBAJ&pg=PA131&lpg=PA131&dq=algebra+meyberg+karpfinger+der+hauptsatz+%C3%BCber+endliche+abelsche+gruppen&source=bl&ots=hYWriTG-qV&sig=FIH0bL5ZY4mG1jkU7QHw3s4qcUY&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwjlmeyy8Y3WAhXEK1AKHcVYAl4Q6AEIODAE#v=onepage&q=algebra%20meyberg%20karpfinger%20der%20hauptsatz%20%C3%BCber%20endliche%20abelsche%20gruppen&f=false
steht im Beweis zu Lemma 10.2 sinngemäß:

--
... Im Falle $G [mm] \not=$ [/mm] ist $G$ nicht zyklisch (soweit klar, da [mm] $G\,$ [/mm] abelsche
Gruppe und $a [mm] \in [/mm] G$ mit maximaler Ordnung ist - [mm] $G\,$ [/mm] ist $p$-Gruppe und abelsch).
Nach Lemma 5.2 und 10.1 existiert eine Untergruppe $P [mm] \le [/mm] G$ mit $|P|=p$ und $P [mm] \cap
=\{e\}\,.$ [/mm]
($e [mm] \in [/mm] G$ ist das neutrale Element.)
--

Ich verstehe gerade nicht, was das mit Lemma 5.2 zu tun hat. Dieses besagt:
Wenn [mm] $G\,$ [/mm] eine endliche, zyklische Gruppe ist, dann gibt es für jeden Teiler
der Gruppenordnung GENAU EINE Untergruppe, deren Ordnung eben dieser
Teiler ist.

Das Lemma 10.1 besagt:
Eine endliche abelsche p-Gruppe, die nur eine Untergruppe der Ordnung
p hat, ist zyklisch.

In Lemma 10.2 steht schonmal nicht dabei, dass G endlich sei. Wenn G
nun nicht zyklisch ist, wieso steht dann im Beweis zu Lemma 10.2:
"Im Falle $G [mm] \neq
$ [/mm] ist G nicht zyklisch. Nach den Lemmata 5.2 und 10.1..."

???

Also was mir ja noch klar ist: Wäre G endlich, abelsch und nicht-zyklisch,
so gäbe es zwei ungleiche p-Untergruppen von G. (Kontraposition von
der Aussage in Lemma 10.1).
Aber hier steht ja auch nicht dabei, dass G endlich ist...

Blickt da jemand durch?

Gruß,
  Marcel

        
Bezug
Beweis für Produktdarstellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Di 05.09.2017
Autor: UniversellesObjekt

In [mm] $\langle a\rangle$ [/mm] ist eine Untergruppe $P'$ der Ordnung $p$ enthalten. Da [mm] $\langle a\rangle [/mm] $ zyklisch ist, genau eine solche (5.2). Da $G$ aber nicht zyklisch ist, gibt es in $G$ eine weitere von $P'$ verschiedene Untergruppe der Ordnung $p$, etwa $P$ (10.1). Diese ist nicht in [mm] $\langle a\rangle [/mm] $ enthalten und erfüllt das Gewünschte.

Da ich nicht weiß, was in 10.2 gezeigt werden soll (kann auf die Seite nicht zugreifen) weiß ich nicht, ob man Endlichkeit braucht.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt


Bezug
                
Bezug
Beweis für Produktdarstellung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:56 Di 05.09.2017
Autor: Marcel

Hallo UO,

> In [mm]\langle a\rangle[/mm] ist eine Untergruppe [mm]P'[/mm] der Ordnung [mm]p[/mm]
> enthalten. Da [mm]\langle a\rangle[/mm] zyklisch ist, genau eine
> solche (5.2). Da [mm]G[/mm] aber nicht zyklisch ist, gibt es in [mm]G[/mm]
> eine weitere von [mm]P'[/mm] verschiedene Untergruppe der Ordnung [mm]p[/mm],
> etwa [mm]P[/mm] (10.1). Diese ist nicht in [mm]\langle a\rangle[/mm]
> enthalten und erfüllt das Gewünschte.

Danke. Hätte man ja auch direkt so hinschreiben können. Jetzt ist's logisch:
G hat mindestens 2 p-Untergruppen, und eine davon namens P' liegt in <a>,
und diese ist dann zyklisch (was man aber nicht braucht) und die einzige
Untergruppe von <a> der Ordnung p.
Die (oder besser: eine) andere ist eine von G, nennen wir sie, wie bei Dir,
einfach P.

Wäre nun $P [mm] \cap [/mm] <a> [mm] \neq \{e\}$, [/mm] so wäre $x [mm] \in [/mm] P [mm] \setminus [/mm] <a>$ ein Element der
Ordnung p (nach einem anderen Satz oder Lemma hat eine p-Gruppe nur
Elemente, deren Ordnung eine p-Potenz ist, und die Elemente hier haben
ja eine Ordnung [mm] $\le [/mm] p$, also 0 [oder sage ich vielleicht besser: das Element
ist das neutrale Element?] oder p). Dann wäre wegen $x [mm] \in [/mm] P'$
Das war Quatsch bzw. nicht direkt ersichtlich, Korrektur:
Es ist [mm] $\,$ [/mm] dann eine Untergruppe von $<a>$ der Ordnung p. Also gilt [mm] $=P\,'$ [/mm] und damit insbesondere $x [mm] \in [/mm] P'$...
Wegen $x [mm] \in [/mm] P$ ist $<x> [mm] \subseteq [/mm] P$ und mit $|<x>|=p=|P|$ folgte [mm] $=P\,.$ [/mm] Also gilt [mm] $P==P\,'$. [/mm] Widerspruch!

Habe ich da was übersehen, oder falsch oder zu kompliziert gemacht?
  

> Da ich nicht weiß, was in 10.2 gezeigt werden soll (kann
> auf die Seite nicht zugreifen) weiß ich nicht, ob man
> Endlichkeit braucht.

Es kann ja sein, dass in 10.2 die Voraussetzung der Endlichkeit vergessen
wurde - vielleicht wurde sie aber absichtlich weggelassen:
Sei [mm] $G\,$ [/mm] eine abelsche p-Gruppe. Sei $a [mm] \in [/mm] G$ mit maximaler Ordnung.
Dann existiert eine Untergruppe $U [mm] \le [/mm] G$ mit $G=U [mm] \otimes \,.$ [/mm]

P.S. Vielen Dank schonmal. Wenn Du magst, kannst Du ja mal gucken, ob
die Voraussetzung "G endlich" gefehlt hat. Nach der hier gemachten
Formulierung des Lemma 10.1, was wir ja anwenden, fehlt sie meiner
Ansicht nach...

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
Beweis für Produktdarstellung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:13 Mi 06.09.2017
Autor: UniversellesObjekt


> Hallo UO,
>  
> > In [mm]\langle a\rangle[/mm] ist eine Untergruppe [mm]P'[/mm] der Ordnung [mm]p[/mm]
> > enthalten. Da [mm]\langle a\rangle[/mm] zyklisch ist, genau eine
> > solche (5.2). Da [mm]G[/mm] aber nicht zyklisch ist, gibt es in [mm]G[/mm]
> > eine weitere von [mm]P'[/mm] verschiedene Untergruppe der Ordnung [mm]p[/mm],
> > etwa [mm]P[/mm] (10.1). Diese ist nicht in [mm]\langle a\rangle[/mm]
> > enthalten und erfüllt das Gewünschte.
>  
> Danke. Hätte man ja auch direkt so hinschreiben können.
> Jetzt ist's logisch:
>  G hat mindestens 2 p-Untergruppen, und eine davon namens
> P' liegt in <a>,
> und diese ist dann zyklisch (was man aber nicht braucht)
> und die einzige
> Untergruppe von <a> der Ordnung p.
>  Die (oder besser: eine) andere ist eine von G, nennen wir
> sie, wie bei Dir,
> einfach P.
>  
> Wäre nun [mm]P \cap \neq \{e\}[/mm], so wäre [mm]x \in P \setminus [/mm]
> ein Element der
>  Ordnung p (nach einem anderen Satz oder Lemma hat eine
> p-Gruppe nur
>  Elemente, deren Ordnung eine p-Potenz ist, und die
> Elemente hier haben
>  ja eine Ordnung [mm]\le p[/mm], also 0 [oder sage ich vielleicht
> besser: das Element
>  ist das neutrale Element?] oder p). Dann wäre wegen [mm]x \in P'[/mm]
> Das war Quatsch bzw. nicht direkt ersichtlich, Korrektur:
>  Es ist [mm]\,[/mm] dann eine Untergruppe von [mm]
[/mm] der Ordnung p.
> Also gilt [mm]=P\,'[/mm] und damit insbesondere [mm]x \in P'[/mm]...
>  
> Wegen [mm]x \in P[/mm] ist [mm] \subseteq P[/mm] und mit [mm]||=p=|P|[/mm]
> folgte [mm]=P\,.[/mm] Also gilt [mm]P==P\,'[/mm]. Widerspruch!
>  
> Habe ich da was übersehen, oder falsch oder zu kompliziert
> gemacht?

Anmerkung 1: Das neutrale Element hat Ordnung $1$. Ordnung 0 gibt es üblicherweise gar nicht, obwohl ich ein Vertreter der Ansicht bin, dass die Elemente, deren Ordnung man normalerweise [mm] $\infty$ [/mm] nennt, eigentlich Ordnung  $0$ haben sollte.

Anmerkung 2: [mm] $P\cap\langle a\rangle$ [/mm] ist Untergruppe von $P$, hat also noch Lagrange Ordnung $1$ oder $p$. Ordnung $p$ würde aber bedeuten, dass es sich um ganz $P$ handelt, also [mm] $P\subseteq\langle a\rangle$. [/mm]
    

> > Da ich nicht weiß, was in 10.2 gezeigt werden soll (kann
> > auf die Seite nicht zugreifen) weiß ich nicht, ob man
> > Endlichkeit braucht.
>  
> Es kann ja sein, dass in 10.2 die Voraussetzung der
> Endlichkeit vergessen
>  wurde - vielleicht wurde sie aber absichtlich
> weggelassen:
>  Sei [mm]G\,[/mm] eine abelsche p-Gruppe. Sei [mm]a \in G[/mm] mit maximaler
> Ordnung.
>  Dann existiert eine Untergruppe [mm]U \le G[/mm] mit [mm]G=U \otimes
\,.[/mm]

Das sollte wohl [mm] $\oplus$ [/mm] heißen?

Edit: Ich sehe gerade, dass K/M [mm] $\otimes$ [/mm] für das direkte Produkt verwendet. Bitte auf keinen Fall abgucken! [mm] $\otimes$ [/mm] ist das Tensorprodukt. Entweder [mm] $\times$ [/mm] oder [mm] $\oplus$ [/mm] schreiben.

Zuerst sollten wir bemerknen, dass eine unendliche $p$-Gruppe kein Element maximaler Ordnung zu haben braucht, siehe etwa [mm] $\bigoplus_n \IZ/p^n$ [/mm] oder auch die Prüfer-Gruppe ($p$-Torsionsteil der [mm] $S^1$). [/mm]

Nehmen wir also an, dass es ein Element $a$ maximaler Ordnung, etwa [mm] $p^n$ [/mm] gibt. Dann trägt $G$ die Struktur eines [mm] $\IZ/p^n$-Moduls [/mm] und die Frage ist, ob die Inklusion [mm] $\langle a\rangle\longrightarrow [/mm] G$ ein zerfallender Monomorphismus ist. Nach dem Kriterium von Baer (oder irgendeinem anderen Argument) ist [mm] $\langle a\rangle\cong \IZ/p^n$ [/mm] aber
[]injektiv als [mm] $\IZ/p^n$-Modul, [/mm] woraus die Behauptung folgt.

> P.S. Vielen Dank schonmal. Wenn Du magst, kannst Du ja mal
> gucken, ob
>  die Voraussetzung "G endlich" gefehlt hat. Nach der hier
> gemachten
> Formulierung des Lemma 10.1, was wir ja anwenden, fehlt sie
> meiner
> Ansicht nach...
>  
> Gruß,
>    Marcel

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                
Bezug
Beweis für Produktdarstellung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:12 Mi 06.09.2017
Autor: Marcel

Hallo UO,

> > Wäre nun [mm]P \cap \neq \{e\}[/mm], so wäre [mm]x \in P \setminus [/mm]
> > ein Element der
>  >  Ordnung p (nach einem anderen Satz oder Lemma hat eine
> > p-Gruppe nur
>  >  Elemente, deren Ordnung eine p-Potenz ist, und die
> > Elemente hier haben
>  >  ja eine Ordnung [mm]\le p[/mm], also 0 [oder sage ich vielleicht
> > besser: das Element
>  >  ist das neutrale Element?] oder p). Dann wäre wegen [mm]x \in P'[/mm]
> > Das war Quatsch bzw. nicht direkt ersichtlich, Korrektur:
>  >  Es ist [mm]\,[/mm] dann eine Untergruppe von [mm]
[/mm] der Ordnung
> p.
>  > Also gilt [mm]=P\,'[/mm] und damit insbesondere [mm]x \in P'[/mm]...

>  >

>  
> > Wegen [mm]x \in P[/mm] ist [mm] \subseteq P[/mm] und mit [mm]||=p=|P|[/mm]
> > folgte [mm]=P\,.[/mm] Also gilt [mm]P==P\,'[/mm]. Widerspruch!
>  >  
> > Habe ich da was übersehen, oder falsch oder zu kompliziert
> > gemacht?
>  
> Anmerkung 1: Das neutrale Element hat Ordnung [mm]1[/mm]. Ordnung 0
> gibt es üblicherweise gar nicht, obwohl ich ein Vertreter
> der Ansicht bin, dass die Elemente, deren Ordnung man
> normalerweise [mm]\infty[/mm] nennt, eigentlich Ordnung  [mm]0[/mm] haben
> sollte.

okay, das erste Argument ist logisch, rein per Definitionem ist ja

    [mm] $ord_G(g)=\min\{\ell \in \IN: g^\ell=e\}$ [/mm] mit [mm] $\IN=\IN\setminus \{0\}$. [/mm]

Deine Ansicht kann ich wegen [mm] $ord_G(g)=||$ [/mm] (im endlichen Fall natürlich)
nicht ganz nachvollziehen - wenngleich, wie gesagt, dass ja nur im endlichen
Fall gilt. Aber vielleicht kennst Du Gründe, warum die andere Auffassung
eleganter ist. Für mich würde sie [mm] $
=\{\}$ [/mm] "suggerieren", falls [mm] $ord(a)=0\,$ [/mm] (momentan [mm] $=\infty$). [/mm] Aber
das ist ja nur ein didaktischer Grund, warum man das nicht machen sollte.
(Natürlich ist $<a>$ niemals leer!)

> Anmerkung 2: [mm]P\cap\langle a\rangle[/mm] ist Untergruppe von [mm]P[/mm],
> hat also noch Lagrange Ordnung [mm]1[/mm] oder [mm]p[/mm]. Ordnung [mm]p[/mm] würde
> aber bedeuten, dass es sich um ganz [mm]P[/mm] handelt, also
> [mm]P\subseteq\langle a\rangle[/mm].

Ja klar. Ist meine Argumentation denn dennoch in sich schlüssig? Ich denke
schon; aber Gruppentheorie ist nicht mein Steckenpferd, da mache ich halt
"kleine Trugschlüsse". Anfangs dachte ich z.B. bei der Aussage, dass ein
Element aus G mit maximaler Ordnung doch Ordnung |G| haben müßte...
Und dann dämmerte es mir, dass G dann ja wohl zyklisch wäre (G ist ja
endlich)...
Grob gesagt ist "Gruppentheorie", ebenso wie Algebra und Kryptographie,
ein "Hobby", für das ich LEIDER aus vielen Gründen viel zu selten Zeit finde.
Und im Gegensatz etwa zur Analysis kann ich mir da auch selten einfach
mal ein paar Beispiele "basteln", um was zu testen. Ist halt doch eher
rein abstrakt (auch, wenn ich sowas sehr mag; dadurch wird man aber
trotzdem oft zu Trugschlüssen "verleitet", und diese dann aufzudecken,
finde ich nicht gerade trivial...).
      

> > > Da ich nicht weiß, was in 10.2 gezeigt werden soll (kann
> > > auf die Seite nicht zugreifen) weiß ich nicht, ob man
> > > Endlichkeit braucht.
>  >  
> > Es kann ja sein, dass in 10.2 die Voraussetzung der
> > Endlichkeit vergessen
>  >  wurde - vielleicht wurde sie aber absichtlich
> > weggelassen:
>  >  Sei [mm]G\,[/mm] eine abelsche p-Gruppe. Sei [mm]a \in G[/mm] mit
> maximaler
> > Ordnung.
>  >  Dann existiert eine Untergruppe [mm]U \le G[/mm] mit [mm]G=U \otimes
\,.[/mm]
>
> Das sollte wohl [mm]\oplus[/mm] heißen?
>  
> Edit: Ich sehe gerade, dass K/M [mm]\otimes[/mm] für das direkte
> Produkt verwendet.

Genau - damit wird das direkte innere Produkt bezeichnet.

> Bitte auf keinen Fall abgucken! [mm]\otimes[/mm]
> ist das Tensorprodukt. Entweder [mm]\times[/mm] oder [mm]\oplus[/mm]
> schreiben.

Was wäre mit [mm] $\odot$? [/mm] Oder wird das auch schon anderweitig verwendet?
Das Tensorprodukt taucht bei M/K gar nicht auf, glaube ich, daher ist das
bei denen (bzgl. des Buches) wohl egal...
  

> Zuerst sollten wir bemerknen, dass eine unendliche [mm]p[/mm]-Gruppe
> kein Element maximaler Ordnung zu haben braucht, siehe etwa
> [mm]\bigoplus_n \IZ/p^n[/mm] oder auch die Prüfer-Gruppe
> ([mm]p[/mm]-Torsionsteil der [mm]S^1[/mm]).
>  
> Nehmen wir also an, dass es ein Element [mm]a[/mm] maximaler
> Ordnung, etwa [mm]p^n[/mm] gibt. Dann trägt [mm]G[/mm] die Struktur eines
> [mm]\IZ/p^n[/mm]-Moduls und die Frage ist, ob die Inklusion [mm]\langle a\rangle\longrightarrow G[/mm]
> ein zerfallender Monomorphismus ist. Nach dem Kriterium von
> Baer (oder irgendeinem anderen Argument) ist [mm]\langle a\rangle\cong \IZ/p^n[/mm]
> aber
>
[]injektiv
> als [mm]\IZ/p^n[/mm]-Modul, woraus die Behauptung folgt.

Also die Aussage gilt, wenn ich Dich richtig verstehe, auch bei nicht
endlichen Gruppen. (Sofern es ein Element maximaler Ordnung gibt.)
Mit geht es allerdings darum, ob das, was in dem Buch von M/K steht,
den Satz eigentlich auch nur für endliche, abelsche p-Gruppen beweist.
Jedenfalls sehe ich in dem Beweis, dass ein Lemma angewendet wird, das
diese Voraussetzung braucht.

> > P.S. Vielen Dank schonmal. Wenn Du magst, kannst Du ja mal
> > gucken, ob
>  >  die Voraussetzung "G endlich" gefehlt hat. Nach der
> hier
> > gemachten
> > Formulierung des Lemma 10.1, was wir ja anwenden, fehlt sie
> > meiner
> > Ansicht nach...

Also stimm das, oder siehst Du das anders?

Danke nochmals! :-)

LG,
  Marcel


Bezug
                                        
Bezug
Beweis für Produktdarstellung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:23 Mi 06.09.2017
Autor: UniversellesObjekt


> okay, das erste Argument ist logisch, rein per Definitionem
> ist ja
>
> [mm]ord_G(g)=\min\{\ell \in \IN: g^\ell=e\}[/mm] mit
> [mm]\IN=\IN\setminus \{0\}[/mm].
>  
> Deine Ansicht kann ich wegen [mm]ord_G(g)=||[/mm] (im endlichen
> Fall natürlich)
> nicht ganz nachvollziehen - wenngleich, wie gesagt, dass ja
> nur im endlichen
>  Fall gilt. Aber vielleicht kennst Du Gründe, warum die
> andere Auffassung
>  eleganter ist. Für mich würde sie [mm]=\{\}[/mm]
> "suggerieren", falls [mm]ord(a)=0\,[/mm] (momentan [mm]=\infty[/mm]). Aber
>  das ist ja nur ein didaktischer Grund, warum man das nicht
> machen sollte.
>  (Natürlich ist [mm]
[/mm] niemals leer!)

Die meiner Meinung nach bessere Definition für die Elementordnung ist die Folgende: Ist $G$ eine Gruppe und [mm] $a\in [/mm] G$, so gibt es einen eindeutigen Gruppenhomomorphismus [mm] $f\colon\IZ\longrightarrow [/mm] G$ mit $f(1)=a$ (nämlich [mm] $f(n)=a^n$). [/mm]  Es gilt [mm] $\ker (f)=\langle n\rangle$ [/mm] für eine eindeutige natürliche Zahl $n$, diese heißt die Ordnung von $a$ in Zeichen $o(a)$.

Bemerkungen: Es gilt offenbar [mm] $\langle a\rangle=\operatorname{im}(f)\cong \IZ/\ker(f)=\IZ/\langle n\rangle$, [/mm] wobei $n$ die Ordnung von $a$ nach obiger Definition ist. Hieran sieht man: Es gilt [mm] $o(a)=n=|\langle a\rangle|$ [/mm] falls $n$ positiv ist und $o(a)=0$ genau dann, wenn [mm] $|\langle a\rangle|=\infty$. [/mm]

Es ergibt sich also nur für Ordnung 0 bzw. [mm] $\infty$ [/mm] eine Änderung zur üblicheren Definition.

Ein Vorteil ist zum Beispiel, dass die fundamentale Beziehung [mm] $a^m=1\iff o(a)\mid [/mm] m$ nun immer richtig ist, ohne Fallunterscheidung.

Bei der Charakteristik eines eines Ringes oder Körpers ist dieser Zugang sowieso der übliche, es gilt [mm] $\operatorname{char}(R)=o(1_R)$, [/mm] wenn man obige Definition der Ordnung zugrundelegt.

Siehe auch
[]hier, wo diese Sichtweise verwendet wird.

> Ja klar. Ist meine Argumentation denn dennoch in sich
> schlüssig?

Also am Anfang sollte es wohl [mm] $1\not=x\in P\cap\langle a\rangle$ [/mm] heißen. Der Rest sieht aber vernünftig, wenngleich kompliziert aus.

Ich denke

>  schon; aber Gruppentheorie ist nicht mein Steckenpferd, da
> mache ich halt
>  "kleine Trugschlüsse". Anfangs dachte ich z.B. bei der
> Aussage, dass ein
> Element aus G mit maximaler Ordnung doch Ordnung |G| haben
> müßte...
>  Und dann dämmerte es mir, dass G dann ja wohl zyklisch
> wäre (G ist ja
>  endlich)...
>  Grob gesagt ist "Gruppentheorie", ebenso wie Algebra und
> Kryptographie,
>  ein "Hobby", für das ich LEIDER aus vielen Gründen viel
> zu selten Zeit finde.
>  Und im Gegensatz etwa zur Analysis kann ich mir da auch
> selten einfach
> mal ein paar Beispiele "basteln", um was zu testen. Ist
> halt doch eher
>  rein abstrakt (auch, wenn ich sowas sehr mag; dadurch wird
> man aber
> trotzdem oft zu Trugschlüssen "verleitet", und diese dann
> aufzudecken,
>  finde ich nicht gerade trivial...).

Bei Emmy Noether hieß das, was man für die Algebra braucht "abstrakte Anschauung". Was sie sich darunter vorgestellt hat, darüber kann man wohl streiten.

> Genau - damit wird das direkte innere Produkt bezeichnet.
> > Bitte auf keinen Fall abgucken! [mm]\otimes[/mm]
> > ist das Tensorprodukt. Entweder [mm]\times[/mm] oder [mm]\oplus[/mm]
> > schreiben.
>  
> Was wäre mit [mm]\odot[/mm]? Oder wird das auch schon anderweitig
> verwendet?

Das ist frei denke ich. Aber braucht man denn ein anderes Symbol? In der linearen Algebra kommt man doch auch sehr gut mit einem Symbol für die direkte Summe aus.

>  Das Tensorprodukt taucht bei M/K gar nicht auf, glaube
> ich, daher ist das
>  bei denen (bzgl. des Buches) wohl egal...

Das stimmt, aber da das Tensorprodukt abelscher Gruppen in der Algebra derart omnipräsent ist, weiß ich nicht, ob es klug ist, diese Verwechslungsgefahr für Leute wie mich, die nur mal kurz eine Seite angucken, die irgendwo zitiert wurde, herzustellen.

> > Zuerst sollten wir bemerknen, dass eine unendliche [mm]p[/mm]-Gruppe
> > kein Element maximaler Ordnung zu haben braucht, siehe etwa
> > [mm]\bigoplus_n \IZ/p^n[/mm] oder auch die Prüfer-Gruppe
> > ([mm]p[/mm]-Torsionsteil der [mm]S^1[/mm]).
>  >  
> > Nehmen wir also an, dass es ein Element [mm]a[/mm] maximaler
> > Ordnung, etwa [mm]p^n[/mm] gibt. Dann trägt [mm]G[/mm] die Struktur eines
> > [mm]\IZ/p^n[/mm]-Moduls und die Frage ist, ob die Inklusion [mm]\langle a\rangle\longrightarrow G[/mm]
> > ein zerfallender Monomorphismus ist. Nach dem Kriterium von
> > Baer (oder irgendeinem anderen Argument) ist [mm]\langle a\rangle\cong \IZ/p^n[/mm]
> > aber
> >
> []injektiv
> > als [mm]\IZ/p^n[/mm]-Modul, woraus die Behauptung folgt.
>  
> Also die Aussage gilt, wenn ich Dich richtig verstehe, auch
> bei nicht
> endlichen Gruppen. (Sofern es ein Element maximaler Ordnung
> gibt.)

Ja.

>  Mit geht es allerdings darum, ob das, was in dem Buch von
> M/K steht,
>  den Satz eigentlich auch nur für endliche, abelsche
> p-Gruppen beweist.
>  Jedenfalls sehe ich in dem Beweis, dass ein Lemma
> angewendet wird, das
>  diese Voraussetzung braucht.

Ja.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                                
Bezug
Beweis für Produktdarstellung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:35 Mo 11.09.2017
Autor: Marcel

Hallo,

> > okay, das erste Argument ist logisch, rein per Definitionem
> > ist ja
> >
> > [mm]ord_G(g)=\min\{\ell \in \IN: g^\ell=e\}[/mm] mit
> > [mm]\IN=\IN\setminus \{0\}[/mm].
>  >  
> > Deine Ansicht kann ich wegen [mm]ord_G(g)=||[/mm] (im endlichen
> > Fall natürlich)
> > nicht ganz nachvollziehen - wenngleich, wie gesagt, dass ja
> > nur im endlichen
>  >  Fall gilt. Aber vielleicht kennst Du Gründe, warum die
> > andere Auffassung
>  >  eleganter ist. Für mich würde sie [mm]=\{\}[/mm]
> > "suggerieren", falls [mm]ord(a)=0\,[/mm] (momentan [mm]=\infty[/mm]). Aber
>  >  das ist ja nur ein didaktischer Grund, warum man das
> nicht
> > machen sollte.
>  >  (Natürlich ist [mm]
[/mm] niemals leer!)
>  
> Die meiner Meinung nach bessere Definition für die
> Elementordnung ist die Folgende: Ist [mm]G[/mm] eine Gruppe und [mm]a\in G[/mm],
> so gibt es einen eindeutigen Gruppenhomomorphismus
> [mm]f\colon\IZ\longrightarrow G[/mm] mit [mm]f(1)=a[/mm] (nämlich [mm]f(n)=a^n[/mm]).
>  Es gilt [mm]\ker (f)=\langle n\rangle[/mm] für eine eindeutige
> natürliche Zahl [mm]n[/mm], diese heißt die Ordnung von [mm]a[/mm] in
> Zeichen [mm]o(a)[/mm].

habe ich so noch nie gesehen, aber ist natürlich einleuchtend. :-)
  

> Bemerkungen: Es gilt offenbar [mm]\langle a\rangle=\operatorname{im}(f)\cong \IZ/\ker(f)=\IZ/\langle n\rangle[/mm],
> wobei [mm]n[/mm] die Ordnung von [mm]a[/mm] nach obiger Definition ist.

Das folgt dann nach dem Homomorphiesatz, denke ich.

> Hieran sieht man: Es gilt [mm]o(a)=n=|\langle a\rangle|[/mm] falls [mm]n[/mm]
> positiv ist und [mm]o(a)=0[/mm] genau dann, wenn [mm]|\langle a\rangle|=\infty[/mm].

[ok]

> Es ergibt sich also nur für Ordnung 0 bzw. [mm]\infty[/mm] eine
> Änderung zur üblicheren Definition.

[ok]
  

> Ein Vorteil ist zum Beispiel, dass die fundamentale
> Beziehung [mm]a^m=1\iff o(a)\mid m[/mm] nun immer richtig ist, ohne
> Fallunterscheidung.

[ok]
  

> Bei der Charakteristik eines eines Ringes oder Körpers ist
> dieser Zugang sowieso der übliche, es gilt
> [mm]\operatorname{char}(R)=o(1_R)[/mm], wenn man obige Definition
> der Ordnung zugrundelegt.
>  
> Siehe auch
>
[]hier,
> wo diese Sichtweise verwendet wird.

Schaue ich mir später an.

> > Ja klar. Ist meine Argumentation denn dennoch in sich
> > schlüssig?
>  
> Also am Anfang sollte es wohl [mm]1\not=x\in P\cap\langle a\rangle[/mm]
> heißen. Der Rest sieht aber vernünftig, wenngleich
> kompliziert aus.

Ja, ich hatte zuvor schonmal geschrieben, dass $P [mm] \cap [/mm] <a> [mm] \not=\{e\}$ [/mm] ist, und
da an dieser Stelle einfach $x [mm] \in [/mm] (P [mm] \cap )\setminus\{e\}$ [/mm] angenommen, ohne es
zu erwähnen. Das sollte ich natürlich schon tun, da hast Du Recht. Muss
mal gucken, wie ich das für mich notiert habe.
Ja, manches mache ich unnötig kompliziert - aber oft behalte ich das
erstmal besser so in Erinnerung, weil ich diese Gedanken ja zuerst und
selbstständig geführt habe. ;-)

> Ich denke
>  >  schon; aber Gruppentheorie ist nicht mein Steckenpferd,
> da
> > mache ich halt
>  >  "kleine Trugschlüsse". Anfangs dachte ich z.B. bei der
> > Aussage, dass ein
> > Element aus G mit maximaler Ordnung doch Ordnung |G| haben
> > müßte...
>  >  Und dann dämmerte es mir, dass G dann ja wohl zyklisch
> > wäre (G ist ja
>  >  endlich)...
>  >  Grob gesagt ist "Gruppentheorie", ebenso wie Algebra
> und
> > Kryptographie,
>  >  ein "Hobby", für das ich LEIDER aus vielen Gründen
> viel
> > zu selten Zeit finde.
>  >  Und im Gegensatz etwa zur Analysis kann ich mir da auch
> > selten einfach
> > mal ein paar Beispiele "basteln", um was zu testen. Ist
> > halt doch eher
>  >  rein abstrakt (auch, wenn ich sowas sehr mag; dadurch
> wird
> > man aber
> > trotzdem oft zu Trugschlüssen "verleitet", und diese dann
> > aufzudecken,
>  >  finde ich nicht gerade trivial...).
>  
> Bei Emmy Noether hieß das, was man für die Algebra
> braucht "abstrakte Anschauung". Was sie sich darunter
> vorgestellt hat, darüber kann man wohl streiten.

Naja, das weiß ich auch nicht. Ich finde die Analysis sehr anschaulich, wenn
es dann in Funktionalanalysis geht, finde ich das nicht mehr anschaulich.
Ich finde auch die Lineare Algebra anschaulich, aber viele tun sich mit der
Analysis und Linearen Algebra etwas schwer, und sind dann in Algebra sehr
schnell sehr fitt (okay, wer Algebra beherrscht, kommt meist mit Linearer
Algebra klar, aber umgekehrt muss das noch lange nicht so sein; bei
Analysis und Algebra ist es meiner Erfahrung nach eher so, dass Leute, die
Algebra beherrschen, nicht unbedingt Analysis-affin sind, und umgekehrtes
gilt ähnlich. Sind aber nur MEINE Erfahrungswerte, ich habe da keine
Statistiken erhoben. ;-) )
  

> > Genau - damit wird das direkte innere Produkt bezeichnet.
> > > Bitte auf keinen Fall abgucken! [mm]\otimes[/mm]
> > > ist das Tensorprodukt. Entweder [mm]\times[/mm] oder [mm]\oplus[/mm]
> > > schreiben.
>  >  
> > Was wäre mit [mm]\odot[/mm]? Oder wird das auch schon anderweitig
> > verwendet?
>  
> Das ist frei denke ich. Aber braucht man denn ein anderes
> Symbol? In der linearen Algebra kommt man doch auch sehr
> gut mit einem Symbol für die direkte Summe aus.

Nö, sowas macht man ja eigentlich MEISTENS eher am Anfang, um sich dran
gewöhnen zu können, und später macht man eine Konvention, um das
anders zu schreiben, weil man schreibfaul ist/wird, und sagt dann, dass
aus dem Zshg. heraus klar ist, was gemeint ist (also aus dem Kontext
heraus).
Ich habe auch schon (x,y):=ggT(x,y) und [x,y]:=kgV(x,y) für bspw. ganze
Zahlen x,y gesehen - fand ich aber trotzdem nicht schön, auch, wenn es
im ganzen Buch dafür keine andere Bedeutung gibt (glaube ich). Kann
sogar sein, dass der Autor sagte, dass er einen Punkt mit den Koordinaten
x und y als (x;y) oder (x|y) schreibt - das macht es trotzdem nicht schöner.
Ich hatte auch mal einen Prof., der Wörter wie "Untervektorraum" (was
manche als UV oder UVR abkürzen) immer komplett ausgeschrieben hat,
aber das Wort "für" abgekürzt hat. Ist dann besonders schön, wenn dann
da steht: "Es gilt f. f:..". (Also: "Es gilt für f:...")
  

> >  Das Tensorprodukt taucht bei M/K gar nicht auf, glaube

> > ich, daher ist das
>  >  bei denen (bzgl. des Buches) wohl egal...
>  
> Das stimmt, aber da das Tensorprodukt abelscher Gruppen in
> der Algebra derart omnipräsent ist, weiß ich nicht, ob es
> klug ist, diese Verwechslungsgefahr für Leute wie mich,
> die nur mal kurz eine Seite angucken, die irgendwo zitiert
> wurde, herzustellen.

Da hast Du Recht. Ich schreibe den Autoren manchmal wegen kleinerer
Fehler, die ich finde. Ich kann es ja mal erwähnen, die sind da eigentlich
immer sehr dankbar und nehmen konstruktive Kritik gerne an!

> > > Zuerst sollten wir bemerknen, dass eine unendliche [mm]p[/mm]-Gruppe
> > > kein Element maximaler Ordnung zu haben braucht, siehe etwa
> > > [mm]\bigoplus_n \IZ/p^n[/mm] oder auch die Prüfer-Gruppe
> > > ([mm]p[/mm]-Torsionsteil der [mm]S^1[/mm]).
>  >  >  
> > > Nehmen wir also an, dass es ein Element [mm]a[/mm] maximaler
> > > Ordnung, etwa [mm]p^n[/mm] gibt. Dann trägt [mm]G[/mm] die Struktur eines
> > > [mm]\IZ/p^n[/mm]-Moduls und die Frage ist, ob die Inklusion [mm]\langle a\rangle\longrightarrow G[/mm]
> > > ein zerfallender Monomorphismus ist. Nach dem Kriterium von
> > > Baer (oder irgendeinem anderen Argument) ist [mm]\langle a\rangle\cong \IZ/p^n[/mm]
> > > aber
> > >
> >
>
[]injektiv
> > > als [mm]\IZ/p^n[/mm]-Modul, woraus die Behauptung folgt.
>  >  
> > Also die Aussage gilt, wenn ich Dich richtig verstehe, auch
> > bei nicht
> > endlichen Gruppen. (Sofern es ein Element maximaler Ordnung
> > gibt.)
>  
> Ja.
>  
> >  Mit geht es allerdings darum, ob das, was in dem Buch von

> > M/K steht,
>  >  den Satz eigentlich auch nur für endliche, abelsche
> > p-Gruppen beweist.
>  >  Jedenfalls sehe ich in dem Beweis, dass ein Lemma
> > angewendet wird, das
>  >  diese Voraussetzung braucht.
>  
> Ja.

Ich muss sowieso blind gewesen sein: Anfangs steht da, dass sie einen
Induktionsbeweis über die Ordnung der Gruppe führen. Manchmal liest
man auch Texte 10 Mal, und übersieht solche Offensichtlichkeiten echt
jedes Mal. ;-)

Danke Dir! :-)

Gruß,
  Marcel

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