Beweis für Äquivalenzrelation < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche der folgenden Relationen sund Äquivalenzrelationen?
Falls eine Äquivalenzrelation vorliegt: geben sie die Äquivalenzklassen an. |
Ich habe mich jetzt an der ersten versucht. Ich hoffe der Eigenschaftennachweis stimmt einigermaßen. Wir hatten noch nie Relationen mit "2 Bedingungen", daher auch die eckigen Klammern (der Übersicht wegen).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Mo 13.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Welche der folgenden Relationen sund
> Äquivalenzrelationen?
> Falls eine Äquivalenzrelation vorliegt: geben sie die
> Äquivalenzklassen an.
> Ich habe mich jetzt an der ersten versucht. Ich hoffe der
> Eigenschaftennachweis stimmt einigermaßen. Wir hatten noch
> nie Relationen mit "2 Bedingungen", daher auch die eckigen
> Klammern (der Übersicht wegen).
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo,
die Aufgabe wurde euch etwas verklausuliert gestellt.
Es gilt x|y UND y|x genau dann, wenn x=y.
Es handelt sich also um die Gleichheitsrelation.
Gruß Abakus
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Doofe Frage, aber ist meine Beweisführung dann korrekt?
Wo ist denn dann bei x|y UND y|x genau dann, wenn x=y, der Unterschied zur Bedingung der Antisymmetrie?
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> Doofe Frage, aber ist meine Beweisführung dann korrekt?
Hallo,
nein, Deine Beweisführung ist nicht richtig, meine Lust, auf Einzelheiten einzugehen,
ist jedoch gering, denn da Du Dir nicht die Mühe gemacht hast, die paar Zeilen einzutippen, kann man ja gar nichts kopieren und dazwischenschreiben.
Nur mal zur Reflexivität:
Zeigen will man hier doch, daß xRx gilt.
Du tust hingegen folgendes:
Aus xRx folgerst Du, daß k=1 ist - was ja nicht unbedingt verkehrt ist. (Wie habt Ihr Teilbarkeit eigentlich definiert? Je nach Def. könnte auch (k=1 oder x=0) folgen.)
Boß man will ja nicht wissen, was folgt, falls xRx gilt, sondern man will wissen, ob xRx richtig ist. Dafür muß man genau andersrum argumentieren.
Auch deine Argumentation mit den k,q,l,m erschließt sich nicht so richtig. Der logische Ablauf und das, was Du mit den geschweiften Klammern ausdrücken möchtest, wird mir nicht recht klar.
Vielleicht wären ein paar erklärende Worte nicht übel. Man will so einen Beweis doch von links nach rechts durchlesen und ohne zu denken verstehen können.
> Wo ist denn dann bei x|y UND y|x genau dann, wenn x=y, der
> Unterschied zur Bedingung der Antisymmetrie?
Irgendwie verstehe ich die Frage nicht richtig...
Antisymmetrie ist doch dies: (xRy und yRx) ==> x=y
In Deinem Fall also: (x|y und y|x und y|x und x|y) ==> x=y,
dh. (x|y und y|x ) ==> x=y.
Das gilt ja nicht. Nimm beispielsweise x=5 und y=-5.
Insofern ist der Unterschied Deiner Relation zu einer zu einer antisymmetrischen Relation der, daß Deine Relation nicht antisymmetrisch ist.
Gruß v. Angela
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> Hallo,
> die Aufgabe wurde euch etwas verklausuliert gestellt.
> Es gilt x|y UND y|x genau dann, wenn x=y.
> Es handelt sich also um die Gleichheitsrelation.
Hallo,
nein, das stimmt nicht. Das ganze spielt ja in [mm] \IZ, [/mm] also ist (x|y UND y|x) <==> (x=y oder x=-y)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Di 14.07.2009 | | Autor: | abakus |
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> > Hallo,
> > die Aufgabe wurde euch etwas verklausuliert gestellt.
> > Es gilt x|y UND y|x genau dann, wenn x=y.
> > Es handelt sich also um die Gleichheitsrelation.
>
> Hallo,
>
> nein, das stimmt nicht. Das ganze spielt ja in [mm]\IZ,[/mm] also
> ist (x|y UND y|x) <==> (x=y oder x=-y)
>
> Gruß v. Angela
>
Autsch,
das mit dem Grundbereich Z hatte ich nicht beachtet.
Damit sind aber wenigstens die Äquivalenzklassen klar. Alle betragsgleichen ganzen Zahlen bilden jeweils eine Äquialenzklasse. Mit einer Ausnahme enthalten also alle Äquivalenzklassen genau 2 Elemente.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Di 14.07.2009 | | Autor: | Lockenheld |
Mmm, ich wäre hier in diesem Fall froh, wenn mir einfach jemand mal eine Lösung für den Beweis einer Eigenschaft (z.B. reflexiv) hinknallt. Das ganze ganze sind nämlich Aufgaben von der Klausur aus dem letzten Semester und ich schreibe morgen die entsprechende "richtige" Klausur. Dann könnte ich mir den ersten Lösungsweg anschauen und versuchen zu verstehen, um dann die restlichen Eigenschaften nachzuweisen.... Wenn das gehen würde ...
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> Welche der folgenden Relationen sund
> Äquivalenzrelationen?
> Falls eine Äquivalenzrelation vorliegt: geben sie die
> Äquivalenzklassen an.
> Ich habe mich jetzt an der ersten versucht. Ich hoffe der
> Eigenschaftennachweis stimmt einigermaßen. Wir hatten noch
> nie Relationen mit "2 Bedingungen", daher auch die eckigen
> Klammern (der Übersicht wegen).
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo,
ich zeige Dir das mal - obgleich ich es tippen muß.
Reflexivität
zu zeigen: es ist xRx für alle [mm] x\in \IZ
[/mm]
Bew: Sei [mm] x\in \IZ.
[/mm]
es ist 1*x=x ==> x|x ==> (x|x und x|x) ==> xRx
Symmetrie
Zu zeigen: xRy ==> yRx.
Beweis:
Es seinen x,y [mm] \in \IZ [/mm] mit xRy.
==> x|y und y|x
==> y|x und x|y
==> yRx
Läppisch, oder?
Für die Transitivität brauchst Du allerdings wirklich die Def. von "teilt".
zu zeigen:
xRy und yRz ==> xRy
Beweis:
seine [mm] x,y,z\in \IZ [/mm] mit xRy und yRz
==> x|y und y|x und y|z und z|y
==> es gibt k,l,m,n [mm] \in [/mm] mit kx=y und ly=x und my=z und nz=y
==> [... nun mach mal weiter ]
==> x|z und z|y
==> xRz
Gruß v. Angela
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x|y und y|x und y|z und z|y
es gibt k,l,m,n $ [mm] \in [/mm] $ mit kx=y und ly=x und my=z und nz=y
z = m(kx) und x = l(nz)
z = kmx und x = lnz -- km = q und ln = p mit q,p E [mm] \IZ
[/mm]
z = qx und x = pz
==> x|z und z|y
==> xRz
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Hallo Johannes,
> x|y und y|x und y|z und z|y
>
> es gibt k,l,m,n [mm]\in[/mm] mit kx=y und ly=x und my=z und nz=y ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> z = m(kx) und x = l(nz)
Hier bist du doch schon fertig, denn $z=(mk)x$ bedeutet [mm] $x\mid [/mm] z$ und $x=(ln)z$ bedeutet [mm] $z\mid [/mm] x$, also $xRz$
> z = kmx und x = lnz -- km = q und ln = p mit q,p E [mm]\IZ[/mm]
> z = qx und x = pz
>
> ==> x|z und z|y
>
> ==> xRz
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Di 14.07.2009 | | Autor: | Lockenheld |
Ja, das ist klar. Ich wollte das nur ganz ordentlich aufschreiben.
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Wenn ich nun die gleiche Relation in [mm] \IN\times\IN [/mm] behandeln soll (ÄR-Eigenschaften nachweisen) ändert sich doch an der prinzipiellen Beweisführung nichts. Dann sind meine k,l,m,n doch lediglich [mm] \in\IN.
[/mm]
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> Wenn ich nun die gleiche Relation in [mm]\IN\times\IN[/mm] behandeln
> soll (ÄR-Eigenschaften nachweisen) ändert sich doch an
> der prinzipiellen Beweisführung nichts. Dann sind meine
> k,l,m,n doch lediglich [mm]\in\IN.[/mm]
Hallo,
an der Beweisführung ändert sich nichts.
Es ändern sich aber die Äquivalenzklassen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 Di 14.07.2009 | | Autor: | Lockenheld |
Das habe ich hier in den Lösungen gesehen. Das ist mir auch klar.
Zum Schluss möchte ich mich noch für die Mithilfe und die Geduld mit meinen mathematischen Fähigkeiten bedanken. Ich bin wirklich froh, dass es das Forum hier gibt.
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