Beweis für ein Viereck < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Di 18.04.2006 | | Autor: | Paul1985 |
| Aufgabe | Es gilt zu beweisen, dass in jedem Quadrat die Diagonalen senkrecht aufeinander liegen und ebenfalls die gleiche Länge besitzen.
Verwenden sie hierzu das Skalarprodukt. |
Hallo zusammen,
hoffe ihr könnt mir bei meinem Problem helfen.
Ich muss die oben beschriebene aufgabenstellung irgendwie lösen.
Jedoch finde ich keinen Ansatz wo ich anfangen könnte.
Ich weiß nur, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren dann 0 ist, wenn sie Senkrecht zu einander stehen.
Ich danke Euch !
Paul
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Di 18.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Paul,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Betrachten wir einfach ein beliebiges Quadrat in der $x/y_$-Ebene und legen einen der Eckpunkte in den Ursprung.
Dann wird das Quadrat mit der Seitenlänge $a_$ durch folgende Punkte beschrieben:
[mm] $P_1 [/mm] \ ( \ 0 \ | \ 0 \ | \ 0 \ )$
[mm] $P_2 [/mm] \ ( \ a \ | \ 0 \ | \ 0 \ )$
[mm] $P_3 [/mm] \ ( \ a \ | \ a \ | \ 0 \ )$
[mm] $P_4 [/mm] \ ( \ 0 \ | \ a \ | \ 0 \ )$
Wie lauten nun die Vektoren der beiden Diagonalen? Und nun kannst Du das Skalarprodukt anwenden bzw. die entsprechenden Längen bestimmen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Di 18.04.2006 | | Autor: | Paul1985 |
Ich weiß nicht so richtig was du meinst :)
vektor P12 = P1 - P2
vektor P34 = P3 - P4
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Di 18.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Paul!
Deine genannten Vektoren beschreiben ja nicht die Diagonalen sondern zwei der Seiten. du musst schon jeweils gegenüberliegende (und nicht benachbarte) Punkte wählen:
[mm] $\vec{d}_1 [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{P_1 P_3} [/mm] \ = \ [mm] \vec{p}_3-\vec{p}_1$
[/mm]
[mm] $\vec{d}_2 [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{P_2 P_4} [/mm] \ = \ [mm] \vec{p}_4-\vec{p}_2$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Di 18.04.2006 | | Autor: | Paul1985 |
[mm] \vec{d1} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ a \\0} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 0\\0} [/mm]
[mm] \vec{d1} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ a \\0}
[/mm]
und
[mm] \vec{d2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ a \\0} [/mm] - [mm] \vektor{ a\\ 0\\0} [/mm]
[mm] \vec{d2} [/mm] = [mm] \vektor{-a \\ a \\0}
[/mm]
Ist das soweit richtig ?
Ich versteh das irgendwie nicht mit den a's :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Di 18.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Paul!
> [mm]\vec{d1}[/mm] = [mm]\vektor{a \\ a \\0}[/mm] und [mm]\vec{d2}[/mm] = [mm]\vektor{-a \\ a \\0}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Ich versteh das irgendwie nicht mit den a's :)
Dieses $a_$ gibt hier die beliebige Seitenlänge des Quadrates an; d.h. für ein Quadrat der Seitenlänge $4_$ setzt Du überall für $a_$ den Wert $4_$ ein.
Kannst Du nun das Skalarprodukt der beiden Diagonalen bilden?
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:45 Di 18.04.2006 | | Autor: | Paul1985 |
Okey, danke :)
[mm] \wurzel{(a* -a)² + (a*a)² }
[/mm]
=
a ^{4} + a ^{4} = 2a ^{4}
und nu '? :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Di 18.04.2006 | | Autor: | Paul1985 |
$ [mm] \vektor{a \\ a \\0} [/mm] $ * $ [mm] \vektor{-a \\ a \\0} [/mm] $
ist dann ja:
a*-a + a*a + 0*0
= -a² + a² + 0
= 0
Damit sind die beiden Senkrecht...
Aber nun mit der Länge ?:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Di 18.04.2006 | | Autor: | yalu |
> [mm]\vektor{a \\ a \\0}[/mm] * [mm]\vektor{-a \\ a \\0}[/mm]
>
>
> Aber nun mit der Länge ?:)
Du hast mit dem Skalarprodukt bereits erfolgreich gezeigt, dass diese beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Die Länge eines Vekors ist definiert als sein Betrag - also die Länge von [mm] \vektor{a \\ b \\ c} [/mm] ist definiert als | [mm] \vektor{a \\ b \\ c} [/mm] | = [mm] \wurzel{ a^{2} + b^{2} + c^{2} }
[/mm]
Beispiel: Die Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ -3} [/mm] haben die selben Länge da:
| [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] | = [mm] \wurzel{ 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} } [/mm] = [mm] \wurzel{ 1^{2} + (-2)^{2} + (-3)^{2} } [/mm] = | [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ -3} [/mm] |
Ich hoffe ich konnte dir damit helfen 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Di 18.04.2006 | | Autor: | Paul1985 |
Super, vielen Dank !
Das würde dann heißen:
[mm] d_{1} [/mm] = $ [mm] \wurzel{ a^{2} + a^{2} + 0^{2} } [/mm] $ = $ [mm] \wurzel{ 2a^{2} } [/mm] $
[mm] d_{2} [/mm] = $ [mm] \wurzel{ (-a)^{2} + a^{2} + 0^{2} } [/mm] $ = $ [mm] \wurzel{ 2a^{2} } [/mm] $
Und damit habe ich dann bewiesen, Sie sind gleich lang ?;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Di 18.04.2006 | | Autor: | yalu |
>
> Das würde dann heißen:
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> [mm]d_{1}[/mm] = [mm]\wurzel{ a^{2} + a^{2} + 0^{2} }[/mm] = [mm]\wurzel{ 2a^{2} }[/mm]
>
> [mm]d_{2}[/mm] = [mm]\wurzel{ (-a)^{2} + a^{2} + 0^{2} }[/mm] = [mm]\wurzel{ 2a^{2} }[/mm]
>
> Und damit habe ich dann bewiesen, Sie sind gleich lang ?;)
In der Tat, denn [mm] \wurzel{ 2a^{2} } [/mm] = [mm] \wurzel{ 2a^{2} } [/mm] egal was du für a einsetzt - du kannst übrigens auch schreiben [mm] \wurzel{ 2a^{2} } [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] * a
Na dann - viel Spaß noch mit der analytischen Geometrie und einen schönen Abend noch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 Di 18.04.2006 | | Autor: | Paul1985 |
Na dann möchte ich nur noch "Danke" an dieser Stelle sagen.
Du, sowie der Rest haben mir ein Großes Stück weiter geholfen.
Thx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Di 18.04.2006 | | Autor: | zerbinetta |
> Dieses [mm]a_[/mm] gibt hier die beliebige Seitenlänge des Quadrates
> an; d.h. für ein Quadrat der Seitenlänge [mm]4_[/mm] setzt Du
> überall für [mm]a_[/mm] den Wert [mm]4_[/mm] ein.
>
> Kannst Du nun das Skalarprodukt der beiden Diagonalen
> bilden?
>
Wenn es dir leichter fällt, dann setz' zunächst mal für a eine reelle Zahle (z.B. 4) ein. Aber anschließend musst du das Skalarprodukt noch mal "allgemein" mit den verwirrenden  a bilden...
Gruß,
zerbinetta
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
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Skalarprodukt