Beweis für einen Normalteiler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Do 18.01.2007 | | Autor: | Methos |
| Aufgabe | | Sei H [mm] $\subset$ [/mm] G eine Untergruppe. Betrachten Sie den Durschnitt [mm] $N:=\bigcap_{x \in G} xHx^{-1}$ [/mm] aller Mengen [mm] $xHx^{-1}, [/mm] x [mm] \in [/mm] G$. Begründen Sie: N ist der größte Normalteiler von G, welcher in H enthalten ist. |
Hallo ich stehe vor obiger Frage und hab wirklich überhaupt keinen Plan. Ich müsste ja zuerst mal nachweisen dass N überhaupt Normalteiler ist. Aber, das wars dann auch schon. Ich komme keinen Strich weiter. Bitte um Hilfe.
Gruß
Methos
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
Hallo und guten Tag,
ja, dann weise doch mal die einzelnen Normalteilereigenschaften Schritt für Schritt nach, was Du damit beginnen solltest,
sie hinzuschreiben.
Zunächst ist es eine Gruppe als Schnitt von Gruppen [mm] x^{-1}Hx [/mm] (Beweis !).
Dann ist zu zeigen, daß mit [mm] g\in [/mm] N und [mm] y\in [/mm] G auch [mm] y^{-1}gy\in [/mm] N ist.
Gelte also: [mm] g\in [/mm] N, d.h. für alle [mm] x\in [/mm] G gibt es [mm] h_x\in [/mm] H mit [mm] g=x^{-1}h_xx,
[/mm]
dann ist offenbar
für alle [mm] x\in [/mm] G
[mm] y^{-1}gy=y^{-1}x^{-1}h_xxy=(xy)^{-1}h_xxy [/mm]
und da nun [mm] \tau_y\colon G\to [/mm] G, [mm] x\mapsto [/mm] xy
ein Gruppenisomorphismus ist, ist nun auch
[mm] y^{-1}gy\in\bigcap_xx^{-1}Gx=N.
[/mm]
Gruss,
Mathias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Do 18.01.2007 | | Autor: | Methos |
Hi,
das is ja eben das Problem, nicht dass ich nicht die Eigenschaften wüsste, sondern die Beweise dazu. Warum ist ein Schnitt von Gruppen wieder eine Gruppe?
Und was ist jetzt genau die Antwort, warum das der größte Normalteiler ist. Irgendwie hab ich das nicht verstanden, sorry.
Gruß
Methos
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 Sa 20.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Methos,
> das is ja eben das Problem, nicht dass ich nicht die
> Eigenschaften wüsste, sondern die Beweise dazu. Warum ist
> ein Schnitt von Gruppen wieder eine Gruppe?
na, das sollst du beweisen. Fang doch mal damit an.
Seien $G$ eine Gruppe und [mm] $H_i \subseteq [/mm] G$, $i [mm] \in [/mm] I$ eine Familie von Untergruppen. Setze $H := [mm] \bigcap_{i \in I} H_i$. [/mm] Zu zeigen: $H$ ist eine Untergruppe von $G$.
Wie zeigst du, dass $H$ eine Untergruppe ist? Versuch das doch mal in diesem Fall zu machen.
> Und was ist jetzt genau die Antwort, warum das der größte
> Normalteiler ist. Irgendwie hab ich das nicht verstanden,
Du musst zeigen: ist $N' [mm] \subseteq [/mm] H$ irgendein Normalteiler von $G$, so gilt $N' [mm] \subseteq [/mm] N$.
Nimm dir also ein Element $x [mm] \in [/mm] N'$ und zeige, dass es in $N$ liegt. Dazu musst du benutzen, dass $N'$ ein Normalteiler ist. Und natuerlich die Definition von $N$.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Sa 20.01.2007 | | Autor: | Methos |
Okay, das mit Untergruppe und Normalteiler hab ich inzwischen alles hingekriegt. Was mir nur noch fehlt, ist dass mir dem größten Normalteiler.
Also ich geh mal vor nach deiner Anleitung.
Sei x [mm] $\in$ [/mm] N' und g [mm] $\in$ [/mm] G. Dann gilt: [mm] $gxg^{-1} \in [/mm] N'$ weil N' Normalteiler ist. Wie kann ich jetzt zeigen dass das auch in N liegt??? Wenn jetzt jedes x [mm] $\in$ [/mm] N' auch [mm] $\in$ [/mm] N liegt, bedeutet das nicht, dass N = N' da ja N der Durchschnitt ist.
Gruß
Methos
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 So 21.01.2007 | | Autor: | felixf |
Erstmal: Warum setzt du immer wieder den Status der ersten Frage im Thread auf unbeantwortet? Es reicht voellig aus, wenn eine Frage hier im Thread offen ist. Wenn du die Antwort nicht verstehst, stell eine Frage zu der Antwort und beschreibe was du nicht verstehst. Oder schreibe eine Mitteilung, warum du denkst dass die Antwort nicht ausreicht und setz sie dann wieder auf unbeantwortet. Aber auch nur wenn du dir sicher bist dass da wirklich was drin fehlt (und nicht weil du die Antwort nur nicht verstehst).
> Okay, das mit Untergruppe und Normalteiler hab ich
> inzwischen alles hingekriegt. Was mir nur noch fehlt, ist
> dass mir dem größten Normalteiler.
> Also ich geh mal vor nach deiner Anleitung.
> Sei x [mm]\in[/mm] N' und g [mm]\in[/mm] G. Dann gilt: [mm]gxg^{-1} \in N'[/mm] weil
> N' Normalteiler ist. Wie kann ich jetzt zeigen dass das
> auch in N liegt??? Wenn jetzt jedes x [mm]\in[/mm] N' auch [mm]\in[/mm] N
> liegt, bedeutet das nicht, dass N = N' da ja N der
> Durchschnitt ist.
Versuch es mal so:
Da $N'$ ein Normalteiler ist, ist $g N' [mm] g^{-1} [/mm] = N'$. Soweit klar, oder? Und es ist $N' [mm] \subseteq [/mm] H$, womit auch $g N' [mm] g^{-1} \subseteq [/mm] g H [mm] g^{-1}$ [/mm] ist. Was passiert, wenn du das beides kombinierst?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 So 21.01.2007 | | Autor: | Methos |
Hi,
ich hab halt einfach gedacht, dass ja meine ursprüngliche Frage noch nicht beantwortet worden ist, weil ich sie ja immer noch hatte.
Also, wenn ich das richtig verstehe bedeutet das, dass $N' [mm] \subseteq gHg^{-1}, [/mm] oder?
Dann ist auch $N' [mm] \subseteq [/mm] N$. Bedeutet das dann, dass jeder Normalteiler Teilmenge des Durchschnitts aller Normalteiler ist und deswegen dieser Durchschnitt der größte Normalteiler ist?
Gruß
Methos
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 So 21.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Methos,
> ich hab halt einfach gedacht, dass ja meine ursprüngliche
> Frage noch nicht beantwortet worden ist, weil ich sie ja
> immer noch hatte.
>
> Also, wenn ich das richtig verstehe bedeutet das, dass $N'
> [mm]\subseteq gHg^{-1},[/mm] oder?
Genau.
> Dann ist auch [mm]N' \subseteq N[/mm].
Ja.
> Bedeutet das dann, dass
> jeder Normalteiler Teilmenge des Durchschnitts aller
> Normalteiler ist
Du meinst: ``... Durchschnitts aller Konjugierten von $H$ ist ...''
[mm] $g^{-1} [/mm] H g$ ist i.A. kein Normalteiler.
> und deswegen dieser Durchschnitt der
> größte Normalteiler ist?
Genau.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 So 21.01.2007 | | Autor: | Methos |
Herzlichen Dank,
tut mr leid dass ich mich so angestellt hab. Ich bin nur mit dem Wort "größte" nicht zurecht gekommen.
Gruß
Methos
|
|
|
|
