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Forum "Uni-Versicherungsmathematik" - Beweis für keine Explosion
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Beweis für keine Explosion: Idee
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:29 Do 14.01.2010
Autor: DerGraf

Aufgabe
Aufgabe
Die Zufallsgrößen $ [mm] \tau_n [/mm] $ und $ [mm] T_n [/mm] $ seinen wie im 0. Kapitel der Vorlesung definiert. Das Ereignis $ [mm] \left\{\displaystyle\sup_{n=0,1,\ldots}\tau_n<\infty\right\} [/mm] $ heißt Explosion (Warum?).

(a)
Es sei $ [mm] (\alpha_n)_{n=1,2,\ldots} [/mm] $ eine Folge positiver reeller Zahlen. Die Zeitspannen $ [mm] T_n [/mm] $ $ [mm] (n=1,2,\ldots) [/mm] $ zwischen zwei aufeinander folgenden Schäden seinen unabhängige Zufallsgrößen, die Exponentialverteilungen mit dem Parameter $ [mm] \alpha_n [/mm] $ genügen.
Man zeige: Wenn $ [mm] \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\alpha_n}=+\infty [/mm] $ gilt, dann ist die Wahrscheinlichkeit einer Explosion Null.

(b)
Explodiert der Poissonprozess?

Hallo,

wenn ich a) habe, ist b) kein Problem, doch ich habe leider keine Ahnung, wie ich a) beweisen kann.

Meine erste Idee war, die [mm] T_n [/mm] über ihre Erwartungswerte abzuschätzen. Dann wäre:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\tau_n=\sum_{n=1}^{\infty}E(T_n)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\alpha_n}=+\infty [/mm]

Nun wollte ich noch zeigen, dass [mm] \sum_{n=1}^{\infty}D^2(T_n)<+\infty [/mm] ist, um sicher zu stellen, dass meine Schwankungen klein genug sind, um mit Wahrscheinlichkeit 1 sagen zu können, das keine Explosion vorliegt. Leider hat dies nicht geklappt (man nehme z.B. [mm] \alpha_n=\wurzel{n}). [/mm]

Hat jemand eine bessere Idee für mich? :)

Gruß
DerGraf



        
Bezug
Beweis für keine Explosion: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Mo 18.01.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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