Beweis gesucht < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:42 Mi 13.08.2014 | | Autor: | gr5959 |
| Aufgabe | | ln(a)/ln(b)=log(a)/log(b) |
Wenn ich Zahlen für die Buchstaben einsetze, sehe ich, dass die Gleichung stimmt. Aber wie beweist man die Gleichung allgemein? G.R.
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Hallo,
> ln(a)/ln(b)=log(a)/log(b)
> Wenn ich Zahlen für die Buchstaben einsetze, sehe ich,
> dass die Gleichung stimmt. Aber wie beweist man die
> Gleichung allgemein? G.R.
Das kommt darauf an, was alles zur Verfügung steht. Theoretisch kann man das beweisen nur mit der Definition der Logarithmusfunktion. I.a. wird man hier aber die Umrechnung zwischen zwei Basen
[mm] log_b(x)=\bruch{log_a(x)}{log_a(b)}
[/mm]
heranziehen dürfen und damit geht es einfach. Siehst du es schon?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Mi 13.08.2014 | | Autor: | gr5959 |
Danke! Der Beweis sähe also dann so aus:
Ich rechne log(a) in ln um: log(a) = ln(a)/ln(10)
Das gleiche mit log(b): log(b) = ln(b)/ln(10)
Also log(a)/log(b)= [ln(a)/ln(10)]/[ln(b)/ln(10)]
Die Division auf der rechten Seite ausgeführt ergibt [ln(a)*ln(10)]/[ln(b)*ln(10)]
Das Wegkürzen von ln(10) ergibt log(a)/log(b) = ln(a)/ln(b) QED
Das zu lernen war ein Vergnügen! G.R.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 Mi 13.08.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Falls du die von Diophant erwähnte Tatsache, dass [mm] \log_{c}(x)=\frac{\log_{a}(x)}{\log_{a}(b)} [/mm] noch nicht kennst, hier der Beweis dazu:
Fange mit der sicher wahren Aussage [mm] c^{\log_{c}(x)}=x [/mm] an
[mm] b^{\log_{b}(x)}=x
[/mm]
Beide Seiten in den Logarithmus zur Basis a packen
[mm] \log_{a}\left(b^{\log_{b}(x)}\right)=\log_{a}\left(x\right)
[/mm]
Logarithmengesetz anwenden
[mm] \log_{b}(x)\cdot\log_{a}(b)=\log_{a}(x)
[/mm]
Nun nur noch eine kleine Division:
[mm] \log_{b}(x)=\frac{\log_{a}(x)}{\log_{a}(b)}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mi 13.08.2014 | | Autor: | gr5959 |
Danke! Doch ich bleibe mittendrin stecken:
Was heisst "Logarithmengesetz anwenden"? Welches Gesetz meinst du? G.R.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Mi 13.08.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Danke! Doch ich bleibe mittendrin stecken:
>
> Was heisst "Logarithmengesetz anwenden"? Welches Gesetz
> meinst du? G.R.
Na, soviele  Logarithmusgesetze gibt es doch nun wirlich nicht.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Do 14.08.2014 | | Autor: | gr5959 |
Mein Problem ist, zu verstehen, wie aus
[mm] log_{a}(b^{log_b(x)}) [/mm] = [mm] log_a(x) [/mm] die nächste Zeile werden soll, wenn man ein Logarithmengesetz (welches? 6 oder 7? Und wie?) anwendet und also erhält:
$ [mm] \log_{b}(x)\cdot\log_{a}(b)=\log_{a}(x) [/mm] $
Er verweist mich auf eine Liste von Logarithmusgesetzen, von denen, wie mir scheint, die beiden letzten (6 und 7) in Frage kommen können. Doch wie? Da bleibe ich wieder stecken. Es ist freundlich von Marius, mir einen grösseren mathematischen Durchblick zuzutrauen als ich wirklich habe--aber ich brauche wohl doch noch etwas Hilfe... G.R.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Do 14.08.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Mein Problem ist, zu verstehen, wie aus
>
> [mm]log_{a}(b^{log_b(x)})[/mm] = [mm]log_a(x)[/mm] die nächste Zeile werden
> soll, wenn man ein Logarithmengesetz (welches? 6 oder 7?
> Und wie?) anwendet und also erhält:
Es gilt:
[mm] \log_{a}\left(z^{r}\right)=r\cdot\log_{a}(z)
[/mm]
Und das wird hier verwendet, dass der Exponent im Logarithmus (und der spätere Faktor vor dem Potenzfreien Argument des Logarithmusses) hier dann selber ein Logarithmus ist, spielt erstmal keine große Rolle.
>
> [mm]\log_{b}(x)\cdot\log_{a}(b)=\log_{a}(x)[/mm]
>
> Er verweist mich auf eine Liste von Logarithmusgesetzen,
> von denen, wie mir scheint, die beiden letzten (6 und 7) in
> Frage kommen können. Doch wie? Da bleibe ich wieder
> stecken. Es ist freundlich von Marius, mir einen grösseren
> mathematischen Durchblick zuzutrauen als ich wirklich
> habe--aber ich brauche wohl doch noch etwas Hilfe... G.R.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:29 Fr 15.08.2014 | | Autor: | gr5959 |
Danke, jetzt hab ich's begriffen! Nun sieht es wie selbstverständlich aus... Meine Hochachtung, dass Ihr so viel Geduld mit einem habt, dessen Interesse für Mathematik im umgekehrten Verhältnis zu seiner Begabung für dieselbe steht! Solche Leute sehen zuweilen die Bäume vor lauter Wald nicht, wie in diesem Fall... Nochmals dankeschön! G.R.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Fr 15.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke, jetzt hab ich's begriffen! Nun sieht es wie
> selbstverständlich aus... Meine Hochachtung, dass Ihr so
> viel Geduld mit einem habt, dessen Interesse für
> Mathematik im umgekehrten Verhältnis zu seiner Begabung
> für dieselbe steht! Solche Leute sehen zuweilen die Bäume
> vor lauter Wald nicht, wie in diesem Fall... Nochmals
> dankeschön! G.R.
das ist doch Quatsch: Wenn Du so etwas oft genug gesehen hast, wirst
Du einen geübten Blick dafür bekommen. Das hat nun wirklich rein nichts
mit Begabung zu tun, sondern eher mit dem Willen, das verstehen zu
wollen. Und den zeigst Du ja.
Dass sich bisher Deiner Ansicht nach keine *Begabung* zeigte, kann auch
rein damit zusammenhängen, dass Du vielleicht vorher keine Lust hattest,
etwas verstehen zu wollen, oder man es Dir vielleicht nicht auf einen für
Dich passenden Weg erklärt hat. Und gerade hier im Forum gibt es viele
Persönlichkeiten, da ist die Chance höher, mal eine passende alternative
Erklärung zu sichten.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Do 14.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
auch nur mal zur Ergänzung: Marius hatte ja
diese
verlinkt.
> Mein Problem ist, zu verstehen, wie aus
>
> [mm]log_{a}(b^{log_b(x)})[/mm] = [mm]log_a(x)[/mm]
Um diese Gleichheit zu erhalten, wurde 6. verwendet:
Aus
[mm] $x=b^{\log_b(x)}$
[/mm]
folgt
[mm] $\log_a(x)=\log_a(b^{\log_b(x)})$
[/mm]
> die nächste Zeile werden
> soll, wenn man ein Logarithmengesetz (welches? 6 oder 7? und wie?)
Wie kamst Du denn auf diese Auswahl? Marius hat danach dann 3. benutzt.
Aber er hat es ja auch ausführlicher geschrieben...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 Fr 15.08.2014 | | Autor: | gr5959 |
Inzwischen ist mir alles klar geworden, siehe meine Mitteilung von heute um 10h59! Danke für die Hilfe! G.R.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 Do 14.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
man kann das auch ein wenig anders aufziehen: Seien $x > [mm] 0\,$ [/mm] und $b > [mm] 0\,$ [/mm] mit
zudem $b [mm] \not=1\,.$
[/mm]
Dann gilt
[mm] $b^{\log_b(x)}=x\,.$
[/mm]
[mm] $x\,$ [/mm] kannst Du aber auch schreiben als
[mm] $x=e^\ln(x)\,.$ [/mm] (Beachte dabei $x > [mm] 0\,.$)
[/mm]
Weiter kannst Du schreiben
[mm] $b=e^{\ln(b)}\,.$
[/mm]
Es folgt
[mm] $(e^{\ln(b)})^{\log_b(x)}=e^{\ln(x)}$
[/mm]
[mm] $\iff$
[/mm]
[mm] $e^{\ln(b)*\log_b(x)-\ln(x)}=1\,.$
[/mm]
Da [mm] $e^{0}=1\,,$ [/mm] folgt
[mm] $e^{\ln(b)*\log_b(x)-\ln(x)}=e^{0}\,.$
[/mm]
Da [mm] $\IR \ni [/mm] r [mm] \mapsto e^{r}$ [/mm] injektiv ist, sodann
[mm] $\ln(b)*\log_b(x)-\ln(x)=0\,,$
[/mm]
also wegen $b [mm] \not=1$ [/mm] (damit ist [mm] $\ln(b)\not=0$) [/mm] und $b > [mm] 0\,$ [/mm] (damit [mm] $\ln(b)$ [/mm] definiert
ist)
[mm] $\log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}\,.$
[/mm]
Benutzt habe ich hier - unter anderem - an einer Stelle das "Potenzgesetz"
[mm] $(a^{u})^v=a^{u*v}\,.$
[/mm]
(Und auch [mm] $e^{u}/e^{v}=e^{u-v}\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Sa 16.08.2014 | | Autor: | gr5959 |
Diesen alternativen Beweis habe ich sehr interessant gefunden, nur eine Zeile darin ist mir unklar. Was heisst
Da $ [mm] \IR \ni [/mm] r [mm] \mapsto e^{r} [/mm] $ injektiv ist ? G.R.
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Hallo,
> Diesen alternativen Beweis habe ich sehr interessant
> gefunden, nur eine Zeile darin ist mir unklar. Was heisst
> Da [mm]\IR \ni r \mapsto e^{r}[/mm] injektiv ist ? G.R.
Hm, hier könntest du ein wenig präzisieren, was da genau unklar ist. Ich denke, eine mögliche Quelle für ein Missverständnis grammtikalischer Art hat Marcel selbst eingebaut, indem er das 'Da' groß geschrieben hat. Denn das bezieht sich ja sowohl sprachlich als auch fachlich auf die Zeile oberhalb.
Die Notation selbst ist ein wenig abgekürzt. [mm] \IR \ni [/mm] r [mm] \mapsto e^r [/mm] steht einfach für die Exponentialfunktion auf ganz [mm] \IR, [/mm] d.h.: definiert für alle reellen Zahlen. Die Eigenschaft injektiv meint, dass für zwei beliebige verschiedene [mm] r_1, r_2 [/mm] auch stets die Werte der Exponentialfunktion [mm] e^{r_1}, e^{r_2} ungleich [/mm] sind und dieser Eigenschaft muss man sich halt zunächst versichern, bevor man die Schlussfolgerung treffen darf, die Marcel hier vorgenommen hat (da wird in der Schule rund um Exponentialgleichungen auch zu wenig darauf hingewiesen...).
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Sa 16.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > Diesen alternativen Beweis habe ich sehr interessant
> > gefunden, nur eine Zeile darin ist mir unklar. Was
> heisst
> > Da [mm]\IR \ni r \mapsto e^{r}[/mm] injektiv ist ? G.R.
>
> Hm, hier könntest du ein wenig präzisieren, was da genau
> unklar ist. Ich denke, eine mögliche Quelle für ein
> Missverständnis grammtikalischer Art hat Marcel selbst
> eingebaut, indem er das 'Da' groß geschrieben hat. Denn
> das bezieht sich ja sowohl sprachlich als auch fachlich auf
> die Zeile oberhalb.
Satzanfänge schreibe ich immer groß. ^^
Ich verstehe die Kritik auch nicht: ![[]](/images/popup.gif) Synome für da:
"Da" = "Weil" ^^
> Die Notation selbst ist ein wenig abgekürzt. [mm]\IR \ni[/mm] r
> [mm]\mapsto e^r[/mm] steht einfach für die Exponentialfunktion auf
> ganz [mm]\IR,[/mm] d.h.: definiert für alle reellen Zahlen. Die
> Eigenschaft injektiv meint, dass für zwei beliebige
> verschiedene [mm]r_1, r_2[/mm] auch stets die Werte der
> Exponentialfunktion [mm]e^{r_1}, e^{r_2} ungleich[/mm] sind und
> dieser Eigenschaft muss man sich halt zunächst versichern,
> bevor man die Schlussfolgerung treffen darf, die Marcel
> hier vorgenommen hat (da wird in der Schule rund um
> Exponentialgleichungen auch zu wenig darauf
> hingewiesen...).
Aber das ist inhaltlich das Wichtige. 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 Sa 16.08.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marcel,
sorry: ich hatte den Punkt am Ende der vorigen Zeile überlesen. Ich wollte dich auch gar nicht kritisieren, sondern nur die Zusammenhänge verdeutlichen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Mi 13.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> ln(a)/ln(b)=log(a)/log(b)
> Wenn ich Zahlen für die Buchstaben einsetze, sehe ich,
> dass die Gleichung stimmt. Aber wie beweist man die
> Gleichung allgemein? G.R.
Wie schon anderweitig ausgeführt hängt der Beweis davon ab, welche Voraussetzungen verwendet werden dürfen.
Unter Verwendung von
[mm] $\log(x^n)=n*\log(x)$
[/mm]
und
[mm] $x=e^{\ln(x)}$
[/mm]
ist folgende Vorgehensweise möglich:
[mm] $\br{\log(a)}{\log(b)}=\br{\log(e^{\ln(a)})}{\log(e^{\ln(b)})}=\br{\ln(a)*\cancel{\log(e)}}{\ln(b)*\cancel{\log(e)}}=\br{\ln(a)}{\ln(b)}$.
[/mm]
Gruß RMix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Do 14.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Mein Senf: es seien $a,b>0$ und $b [mm] \ne [/mm] 1$. Dann gibt es genau ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $a=b^x$.
[/mm]
Ist nun $f [mm] \in \{ \log, \ln\}$, [/mm] so haben wir:
[mm] $\br{f(a)}{f(b)}=\br{x*f(b)}{f(b)}=x$
[/mm]
FRED
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