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Forum "Sonstiges" - Beweis gesucht
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Beweis gesucht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:18 Di 21.07.2020
Autor: sancho1980

Hallo,

ich möchte gerade etwas programmieren und habe mir eine Lösung überlegt, die allerdings nur dann richtig wäre, wenn die folgende Annahme korrekt ist:

Betrachten wir die N Werte 0, D, 2D, ..., (N - 1)D im Intervall [0, E[ mit D := [mm] \bruch{E}{N}. [/mm]

Jetzt sei jedem dieser Werte das Bild

f(n) := C + [mm] \bruch{E - C}{N} [/mm] n

mit 0 [mm] \le [/mm] C < E

zugeordnet.

Meine Annahme ist nun, dass immer f(n) [mm] \ge [/mm] n gilt.

Ich habe gedacht, dass man das irgendwie induktiv zeigen können müsste.

Allerdings ist das gar nicht so einfach:

Intuitiv dürfte klar sein, dass die Annahme für ein gegebenes N auf jeden Fall dann zutrifft, wenn f((N - 1)D) [mm] \ge [/mm] (N - 1)D gilt (wobei man streng genommen selbst das erstmal zeigen müsste).

Andererseits gibt es ja nicht nur einen sondern gleich zwei Parameter (N und C).

Jetzt habe ich es trotzdem mal versucht:

N = 1:

f(N - 1) = f(0) = C [mm] \ge [/mm] 0 = N - 1

Soweit, so gut.

N + 1:

f(N + 1 - 1) = f(N) = C + [mm] \bruch{E - C}{N + 1} [/mm] N = C + [mm] \bruch{E - C}{N}(N [/mm] - 1) + X

Ich hab das dann noch nach X umgestellt in der Hoffnung, dass mir das irgendwie weiterhilft, aber das Getippe spare ich mir lieber...

Kann mir jemand weiterhelfen?

Danke und Gruß,

Martin

        
Bezug
Beweis gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:15 Di 21.07.2020
Autor: Fulla

Hallo Martin,

ich denke, du musst uns mehr Informationen zu den ganzen Variablen geben...

Welche Werte soll [mm]n[/mm] denn annehmen? Ich gehe davon aus, dass [mm]n\in\{0, D, 2D, \ldots, (N-1)D\}[/mm].

Soll [mm]f(n)\ge n[/mm] für alle [mm]C, D, E[/mm] gelten, die [mm]0\le C
So allgemein würde ich die Behauptung dann nicht unterschreiben... Denn:
Sei $C=0$ und $E<N$, dann ist
    $f(n)= C [mm] +\frac{E-C}{N}*n=\frac [/mm] EN *n<n$.

Lieben Gruß
Fulla

Bezug
        
Bezug
Beweis gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:27 Mi 22.07.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Betrachten wir die N Werte 0, D, 2D, ..., (N - 1)D im
> Intervall [0, E[ mit D := [mm]\bruch{E}{N}.[/mm]

Wir haben also eigentlich: $0, [mm] \frac{E}{N}, \frac{2E}{N}, \ldots, \frac{(N-1)E}{N}$ [/mm] und den Wert [mm] $\frac{NE}{N} [/mm] = E$ gerade nicht mehr.
Anders geschrieben also: [mm] $\frac{kE}{N}, k=0,\ldots,N-1$ [/mm]

> Jetzt sei jedem dieser Werte das Bild
>  
> f(n) := C + [mm]\bruch{E - C}{N}[/mm] n
>  
> mit 0 [mm]\le[/mm] C < E
>  
> zugeordnet.
>  
> Meine Annahme ist nun, dass immer f(n) [mm]\ge[/mm] n gilt.

Setzen wir die allgemeine Form für $n$ von oben ein, ist die Frage also gleichbedeutend mit:
[mm] C +\bruch{E - C}{N}\frac{kE}{N} > \frac{kE}{N}[/mm]

Umformen liefert: [mm]CN^2 +(E-C-N)kE > 0[/mm]

Was kann uns jetzt den Kram negativ machen? C,N,k,E sind alle größer oder gleich Null.
D.h. es bleibt nur $(E-C-N)$ und das muss ausreichend negativ werden.

$E-C$ ist ebenfalls positiv nach Voraussetzung, davon wird aber noch $N$ abgezogen und das ist unbeschränkt nach oben.
Damit kann man den Gesamtausdruck beliebig ins negative drücken und die Aussage wird falsch…

Als einfaches Gegenbeispiel: Setze $C=0$ und du erhältst $(E-N)kE > 0$ und man sieht sofort, dass das für $E<N$ nicht stimmt.

Analog deine Funktion für $C=0$: $f(n) = [mm] \frac{E}{N}n$ [/mm]
Man sieht sofort, dass dass für $E < N $ nie größer ist als $n$, da der Faktor davor kleiner ist als 1.

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Beweis gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:17 Mi 22.07.2020
Autor: HJKweseleit

Ich geb' auch noch mal meinen Senf dazu.



> f(n) := C + [mm]\bruch{E - C}{N}[/mm] n

  

> Meine Annahme ist nun, dass immer f(n) [mm]\ge[/mm] n gilt.

Nein.

E=5
C=3<E
N=20
n=10

Dann ist  C + [mm]\bruch{E - C}{N}[/mm] n= 3 + [mm]\bruch{5 - 3}{20}[/mm]*10 = 4 <n=10


Allerdings:

Für [mm] N\le [/mm] E und [mm] n\le [/mm] N gilt:
[mm] C(N-n)\ge [/mm] 0 und [mm] (N-E)n\le [/mm] 0, also [mm] C(N-n)\ge [/mm] (N-E)n und damit
[mm] CN-Cn\ge [/mm] Nn-En [mm] \Rightarrow [/mm] CN + (E-C)n [mm] \ge [/mm] nN [mm] \Rightarrow [/mm] C + [mm] \bruch{E-C}{N}n \ge [/mm] n.

Gilt nicht nur [mm] N\le [/mm] E, sondern sogar noch [mm] N+C\le [/mm] E, so ist die Einschränkung n [mm] \le [/mm] N nicht mehr nötig. Für [mm] n\le [/mm] N gilt die Beziehung nach wie vor. Aus [mm] N+C\le [/mm] E folgt [mm] N\le [/mm] E-C und damit [mm] \bruch{E-C}{N}\ge [/mm] 1. Erhöht man in der Beziehung C + [mm] \bruch{E-C}{N}n \ge [/mm] n nun n um 1, wächst die linke Seite mindestens so stark an wie die rechte, und die Beziehung bleibt bestehen.

Umgekehrt heißt das:

Ist [mm] N+C\ge [/mm] E, so ist [mm] \bruch{E-C}{N}\le [/mm] 1, und mit wachsendem n wächst die linke Seite weniger als die rechte, so dass die Beziehung irgendwann nicht mehr gilt.

Bezug
                
Bezug
Beweis gesucht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:15 Mi 22.07.2020
Autor: sancho1980

Hallo,

ja danke für die vielen Antworten, aber mir ist gestern beim Lesen der ersten Antwort auch gleich aufgefallen, dass ich wohl ein Bisschen verwirrt war und die Problematik nicht korrekt formuliert habe.

In Wirklichkeit sind es zwei Funktionen

f(n) = [mm] \bruch{nE}{N} [/mm]

und

g(n) = C + [mm] \bruch{n(E - C)}{N} [/mm]

mit n [mm] \in \IN_0, [/mm] n < N.

Meine Annahme war, dass f(n) [mm] \le [/mm] g(n), was sich jetzt, wo ich das Problem richtig beschrieben hab, auch ganz leicht als zutreffend herausstellt, da man es zu [mm] \bruch{n}{N} \le [/mm] 1 umstellen kann.

Tut mir leid, dass ihr jetzt quasi eine ganz andere Frage beantwortet habt, aber es hat mir ja trotzdem geholfen; wenn auch anders als beabsichtigt...

Grüße,

Martin

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