Beweis gesucht, binomischeF < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe eine Aufgabe und mir fehlt ein Stueck. Waere super wenn mir hier jmd auf die Spruenge helfen koennte.
Thx Alex, hier die Aufgabe:
c sei eine ungerade, positive Ganzzahl der Form a2 - b2 = c (Wird leider nicht korrekt dargestellt, soll heissen aQuadrat-bQuadrat=c). Vorausgesetz diese gleichung hat nur eine Loesung in positiven Ganzzahlen a und b, beweise, dass c entweder eine Primzahl oder das Quadrat einer Primzahl ist.
Hier folgt mal das, was ich geloest hab:
a>b
eine der beiden Zahlen muss gerade, die andere ungerade sein.
Die Gleichung laesst sich auch darstellen als
(a-b)(a+b)=c
wenn a=b+1
c=a+b somit laesst sich jede ungerade Zahl und damit auch jede Primzahl, ausser 2, darstellen,(erhoehe jeweils a und b um 1).
Uebrig bleibt jetzt meine Frage, woher weiss ich, ob es nur eine Loesung gibt?( und bitte sagt nicht, wenn c eine Primzahl oder das Quadrat einer Primzahl ist)
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.forumromanum.de/member/forum/forum-user_260961-std_show-2-1092884493--.html
Sah aber erst spaeter, dass dort lange nichts los war.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:54 Sa 22.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
>> Die Gleichung laesst sich auch darstellen als
> (a-b)(a+b)=c
>
> wenn a=b+1
> c=a+b somit laesst sich jede ungerade Zahl und damit auch
> jede Primzahl, ausser 2, darstellen,(erhoehe jeweils a und
> b um 1).
1. Wenn c Primzahl, dann MUSS a-b=1 und a+b=c , damit eindeutig. sonst gäbe es die Teiler a+b und a-b!
Wenn c nicht prim und nicht [mm] prim^{2}folgt [/mm] c zerlegbar in c=p*q und aus a+b=p und a-b=q ; und a-b=1 und a+b=c ergeben verschiedene Lösungen!( evt noch mehr als 2 wenn c auf mehrere Weisen zerlegbar). den Fall [mm] c=p^{2} [/mm] überlass ich jetzt dir
Gruss leduart
|
|
|
|
