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Forum "Zahlentheorie" - Beweis: ggT ist Teiler
Beweis: ggT ist Teiler < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis: ggT ist Teiler: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 Fr 04.01.2013
Autor: Neongelb

Aufgabe
Seien a, b, c [mm] \in \IZ [/mm] beliebig. Zeigen Sie.

[mm] \exists [/mm] x, y [mm] \in \IZ [/mm] mit ax + by = c [mm] \gdw [/mm] ggT(a,b) | c

Hi,
meine Lösung:

[mm] \Rightarrow [/mm]
Es gilt:

ggT(a, b) | b [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(a,b) | by
ggT(a, b) | a [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(a,b) | ax

ggT(a, b)  [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(a,b) | a+b

deshalb gilt auch: ggT(a, b)  [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(a,b) | ax+by

Die andere Richtung der Äquivalenz müsste dann ja im Prinzip nur andersrum gezeigt werden.

Ist das sowohl inhaltlich als auch formal korrekt?

Danke schonmal :).

Grüße


        
Bezug
Beweis: ggT ist Teiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Fr 04.01.2013
Autor: schachuzipus

Hallo Neongelb,


> Seien a, b, c [mm]\in \IZ[/mm] beliebig. Zeigen Sie.
>  
> [mm]\exists[/mm] x, y [mm]\in \IZ[/mm] mit ax + by = c [mm]\gdw[/mm] ggT(a,b) | c
>  Hi,
>  meine Lösung:
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>  Es gilt:
>  
> ggT(a, b) | b [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b) | by
>  ggT(a, b) | a [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b) | ax [ok]
>  
> ggT(a, b)  [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b) | a+b

Was soll das denn formal bedeuten??

Da steht sowas wie: [mm] $3\Rightarrow 3\mid [/mm] 5$

Was du meinst ist, dass aus [mm] $\ggT(a,b)\mid [/mm] by$ und [mm] $\ggT(a,b)\mid [/mm] ax$ folgt, dass auch [mm] $\ggT(a,b)\mid [/mm] ax+by$ gilt.

>  
> deshalb gilt auch: ggT(a, b)  [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b) | ax+by

Eieiei, formal haarsträubend!

Aber die Idee ist richtig! Schreibe das nur nochmal "gesund" auf.

>  
> Die andere Richtung der Äquivalenz müsste dann ja im
> Prinzip nur andersrum gezeigt werden.

Naja, wie? Mache das doch mal ...

Ich denke nicht, dass das nur "andersherum" geht ...

>  
> Ist das sowohl inhaltlich als auch formal korrekt?

Die eine Richtung ist inhaltl. korrekt, formal aber komisch ...

Die andere Richtung musst du noch machen!

>  
> Danke schonmal :).
>  
> Grüße
>  

LG

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Beweis: ggT ist Teiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:38 Fr 04.01.2013
Autor: Neongelb


> Hallo Neongelb,
>  
>
> > Seien a, b, c [mm]\in \IZ[/mm] beliebig. Zeigen Sie.
>  >  
> > [mm]\exists[/mm] x, y [mm]\in \IZ[/mm] mit ax + by = c [mm]\gdw[/mm] ggT(a,b) | c
>  >  Hi,
>  >  meine Lösung:
>  >  
> > [mm]\Rightarrow[/mm]
>  >  Es gilt:
>  >  
> > ggT(a, b) | b [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b) | by
>  >  ggT(a, b) | a [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b) | ax [ok]
>  >  
> > ggT(a, b)  [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b) | a+b
>  
> Was soll das denn formal bedeuten??

Das soll bedeuten: ggT(a,b)|a [mm] \wedge [/mm] ggt(a,b)|b  [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b) | a+b

Ist das so korrekt? :P
  

> Da steht sowas wie: [mm]3\Rightarrow 3\mid 5[/mm]
>  
> Was du meinst ist, dass aus [mm]\ggT(a,b)\mid by[/mm] und
> [mm]\ggT(a,b)\mid ax[/mm] folgt, dass auch [mm]\ggT(a,b)\mid ax+by[/mm]
> gilt.

Okay, genau ich meinte: ggT(a,b)|ax [mm] \wedge [/mm] ggt(a,b)|by  [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b) | ax+by

> Eieiei, formal haarsträubend!
>  
> Aber die Idee ist richtig! Schreibe das nur nochmal
> "gesund" auf.
>  
> >  

> > Die andere Richtung der Äquivalenz müsste dann ja im
> > Prinzip nur andersrum gezeigt werden.
>  
> Naja, wie? Mache das doch mal ...
>  
> Ich denke nicht, dass das nur "andersherum" geht ...

Hm, okay:
Wenn ggT(a,b)|c, dann muss ein a, b [mm] \in \IZ [/mm] existieren, sodass ax + by = c, weil gilt:

ggT(a,b)|c [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(a,b)|a [mm] \wedge [/mm] ggT(a,b)|b

Und weil ggT(a,b)|c muss ein x,y existieren, sodass ax +bx = 0

Okay das ist doch schwerer als gedacht. Geht das in die richtige Richtung?

> > Ist das sowohl inhaltlich als auch formal korrekt?
>  
> Die eine Richtung ist inhaltl. korrekt, formal aber komisch
> ...
>  
> Die andere Richtung musst du noch machen!
>  
> LG
>  
> schachuzipus
>  

Vielen Dank,
Grüße

Bezug
                        
Bezug
Beweis: ggT ist Teiler: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:13 So 06.01.2013
Autor: Neongelb

Ich bin weiterhin an einer Antwort interessiert. Wäre also nett wenn mir da jemand weiterhelfen könnte :P

Grüße

Bezug
                        
Bezug
Beweis: ggT ist Teiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:43 Mo 07.01.2013
Autor: miraculics

Hallo,

sei d=ggT(a,b).

Wenn du die Gleichung jetzt durch d teilst, erhälst du [mm] \bruch{a}{d}x+\bruch{b}{d}y=\bruch{c}{d}. [/mm]

Da d|a und d|b gilt (also deren Quotienten ganze Zahlen sind) und x und y auch ganze Zahlen sind, was gilt dann für [mm] \bruch{c}{d} [/mm] ?

Ich würd es in der Richtung beweisen.

Gruß Miraculics

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Beweis: ggT ist Teiler: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:46 Mo 07.01.2013
Autor: Neongelb

Hi,

Dann gilt auch d|c.
Dies ist jedoch wieder der Beweis in [mm] \Rightarrow [/mm] -Richtung oder?
Kannst du mir vielleicht auch beim Beweis in [mm] \Leftarrow [/mm] -Richtung einen Tipp geben?

Danke dir :P,

Grüße

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Beweis: ggT ist Teiler: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mi 09.01.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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