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Beweis im Komplexen: kompl. Exponentialfkt.
Status: (Question) answered Status 
Date: 09:42 Fr 10/06/2011
Author: yonca

Hallo an alle,

ich habe mal eine Frage zum Beweis der absoluten Konvergenz der komplexen Exponentialfunktion.
Und zwar erfolgt dieser Beweis ja mittels des Quotientenkriteriums. Und der Beweis für die absolute Konvergenz der
reellen Exponentialfunktion erfolgt ja genauso.

Jetzt frage ich mich, warum man das fürs Komplexe nochmal extra beweisen muss, wenn doch der Beweis eh identisch ist?
Muss ich immer nochmal eine Aussage fürs Komplexe erneut beweisen und in welchen Fällen sind die Beweise identisch bzw. unterschiedlich?

Kann mir da jemand was zu sagen?

Viele Grüße,Y.

        
Bezug
Beweis im Komplexen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 09:53 Fr 10/06/2011
Author: fred97


> Hallo an alle,
>  
> ich habe mal eine Frage zum Beweis der absoluten Konvergenz
> der komplexen Exponentialfunktion.
>  Und zwar erfolgt dieser Beweis ja mittels des
> Quotientenkriteriums. Und der Beweis für die absolute
> Konvergenz der
> reellen Exponentialfunktion erfolgt ja genauso.
>  
> Jetzt frage ich mich, warum man das fürs Komplexe nochmal
> extra beweisen muss, wenn doch der Beweis eh identisch
> ist?
>  Muss ich immer nochmal eine Aussage fürs Komplexe erneut
> beweisen und in welchen Fällen sind die Beweise identisch
> bzw. unterschiedlich?

So allgemein kann man Deine Frage nicht beantworten. Es hängt von der speziellen Aussage ab.

Zum Beispiel gilt:

         (1) [mm] $cos^2(x)+sin^2(x)=1$ [/mm]   für jedes x [mm] \in \IR. [/mm]

Das kann man z.B. mit dem Cauchyprodukt bewisen. In [mm] \IC [/mm] gilt genauso

          (2) [mm] $cos^2(z)+sin^2(z)=1$ [/mm]   (z [mm] \in \IC). [/mm]

(2) kann man wörtlich wie (1) beweisen (ersetze x durch z).

Aus (1) kann man ableiten:

          (3)  $|cos(x)| [mm] \le [/mm] 1$  und  $|sin(x)| [mm] \le [/mm] 1$  für jedes x [mm] \in \IR. [/mm]

Wenn man nun meint (3) lässt sich auch für komplexe Argumente beweisen, so hat man sich gewaltig geschnitten.

     Im Komplexen sind Sinus und Cosinus unbeschränkte Funktionen !!

FRED

  

>  
> Kann mir da jemand was zu sagen?
>  
> Viele Grüße,Y.


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