Beweis irrational Zahl < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallo alle zusammen!
bei folgender aufgabe fehlt mir noch ein entscheindender punkt, um die lücke zu schließen, damit der beweis endgültig richtig ist.
ich soll beweisen, dass log6 zur basis 2 nicht rational ist.
hier nun mein lösungsansatz:
beweis erfolgt indirekt: angenommen, diese zahl wäre doch rational, dann wäre sie folglich als qutient ganzer zahlen darstellbar.
log6 zur basis 2=x [mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] 2^{x}=6)2+3 \gdw 2^{x-1}=3
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x:=m/n [mm] \Rightarrow 2^{m-n}=3^{n} [/mm] mit m,n Element ganze zahlen
nun kommt der schritt,wo mir die nötige verknüpfung fehlt:
[mm] \Rightarrow [/mm] m-n=0=n (wie kommt man darauf?, warum ist das so?)
danach folgt logischerweise daraus ein widerspruch, sodass die annahme falsch ist.
bitte helft mir!
danke schon mal im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Mo 31.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Franzie
[mm]\Rightarrow 2^{m-n}=3^{n}[/mm]
1. m>n
2. die linke Seite hat nur Teiler 2, die rechte Seite nur Teiler 3 damit sie gleich sind können nur die Exponenten 0 sein denn nur [mm] 2^{0}=3^{0}
[/mm]
> mit m,n Element ganze zahlen
> nun kommt der schritt,wo mir die nötige verknüpfung
> fehlt:
> [mm]\Rightarrow[/mm] m-n=0=n (wie kommt man darauf?, warum ist das
> so?)
Gruss leduart
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