Beweis lim e Funktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Tea |
| Aufgabe | Unter Verwendung von [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{e^x-1}{x}=1 [/mm] beweise
man
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} [/mm] = b-a$ |
Hier komme ich nicht weiter...
Ich habe [mm] \bruch{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} [/mm] zu [mm] $e^{-bx}\bruch{e^{(b-a)x}-1}{x} [/mm] = [mm] e^{-bx}\bruch{e^{(b-a)x}-1}{(b-a))x}(b-a)$ [/mm] wobei [mm] \bruch{e^{(b-a)x}-1}{(b-a))x} [/mm] nach Voraussetzung $gegen 1$. Was kommt jetzt?1!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tea!
Aus dem Ausdruck [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\left[e^{-bx}*\blue{\bruch{e^{(b-a)*x}-1}{(b-a)*x}}*(b-a)\right]$ [/mm] hast Du ja den blauen Term bereits gemäß Voraussetzung der Aufgabenstellung "erschlagen".
Nun musst Du halt noch zeigen, dass gilt: [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\left[e^{-bx}*(b-a)\right] [/mm] \ = \ b-a$ bzw. [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}e^{-bx} [/mm] \ = \ 1$ .
Aber das sollte doch nunmehr kein Problem darstellen, oder?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:28 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Tea |
> Hallo Tea!
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> Aus dem Ausdruck [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\left[e^{-bx}*\blue{\bruch{e^{(b-a)*x}-1}{(b-a)*x}}*(b-a)\right][/mm]
> hast Du ja den blauen Term bereits gemäß Voraussetzung der
> Aufgabenstellung "erschlagen".
>
> Nun musst Du halt noch zeigen, dass gilt:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\left[e^{-bx}*(b-a)\right] \ = \ b-a[/mm]
> bzw. [mm]\limes_{x\rightarrow 0}e^{-bx} \ = \ 1[/mm] .
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}e^{-bx}
[/mm]
Ich nehme an dass für $x gegen 0$ $-bx$ gegen 0 , also [mm] $e^{-bx}=e^0=1$,
[/mm]
Kann man das so direkt sagen? Ohne Erläuterung oder sonstwas?!
Dann $1*1*(b-a) = b-a$
> Aber das sollte doch nunmehr kein Problem darstellen,
> oder?
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Das müsste es sein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tea!
Das kann man alles so sagen  ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:50 Sa 07.04.2007 | | Autor: | Tea |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{a^x-b^x}{x}=\log\bruch{a}{b} [/mm] |
Das soll ich auch noch zeigen, habe aber kein Plan.
Als Ansatz wurde mir [mm] $a:=-\log\alpha$ [/mm] bzw. [mm] $b:=-\log\beta$ [/mm] gegeben.
Ich setze ein...
[mm] \bruch{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} [/mm] = [mm] \bruch{\alpha^x-\beta^x}{x}.
[/mm]
[mm] \bruch{a^x-b^x}{x} \gdw \bruch{\alpha^x-\beta^x}{x} [/mm] also [mm] a=\alpha b=\beta
[/mm]
nach (i) [mm] \Rightarrow [/mm] $b-a$ also auch [mm] \alpha-\beta \rightarrow $b-a=-log\beta+\log\alpha=log\bruch{\alpha}{\beta}$ [/mm]
[mm] $\not=log\bruch{a}{b}$
[/mm]
Wo liegt mein Fehler?
Danke!
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Hallo Stefan,
schreibe wieder um:
[mm] \frac{a^x-b^x}{x}=\frac{e^{xln(a)}-e^{xln(b)}}{x}=e^{xln(b)}\cdot{}\frac{e^{x(ln(a)-ln(b))}-1}{x}
[/mm]
[mm] =e^{xln(b)}\cdot{}\frac{e^{x(ln(a)-ln(b))}-1}{(ln(a)-ln(b))x}\cdot{}(ln(a)-ln(b))
[/mm]
Nun den Grenzübergang [mm] x\rightarrow [/mm] 0
Da geht doch alles schön gegen 1 wie in der ersten Aufgabe und übrig bleibt [mm] ln(a)-ln(b)=ln\left(\frac{a}{b}\right)
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Di 10.04.2007 | | Autor: | Tea |
Ich glaube ich habe jetzt langsam verstanden was du mir zeigen wolltest. (Habe ja auch nur fast eine Woche gebraucht )
Meinen Ansatz finde ich aber auch nicht ganz falsch, kann ihn aber im Moment selbst nicht mehr ganz nachvollziehen ^^
Bis denn
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