Beweis linearer Abhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm]V[/mm] ein [mm]K[/mm]-Vektorraum, [mm]n\in\IN[/mm],[mm]\left\{u_1,...,u_n\right\} \subset V^n[/mm]
linear unabhängig in [mm]V[/mm], [mm]\alpha_1,...,\alpha_n \subset K[/mm] und [mm]u := \sum_{j=1}^n \alpha_j u_j \subset V[/mm].
Zeigen Sie:
a) Das Menge [mm]\left\{u_1-u,...,u_n-u\right\} \subset V^n[/mm] ist genau dann linear abhängig, wenn [mm]\sum_{j=1}^{n} \lambda_j=1[/mm]
b) Ist [mm]\alpha_1 \not= 0[/mm], so ist [mm]\left\{u,u_2,...,u_n\right\}[/mm] linear unabhängig in [mm]V[/mm]. |
-Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt-
Also Leute, ich brauche einen Tip um hier weiterzukommen.
Zunächst einmal die Aufgabenstellung ist EXAKT abgeschrieben. Ich vermute aber es sind Fehler darin. Nach meinen bisherigen Überlegungen könnte man Lambda durch Alpha ersetzen in der Summe Teilaufg. a) Außerdem heißt es bekanntlich "Die" Menge ... aber ist ja auch keine Deutschaufgabe.
Teilaufg. b) scheint mir leicht, wenn ich erst a) gezeigt habe, denn es würde ja bedeuten, dass die Summe aller Lambda-i ungleich 1 ist für alle u2 bis un und damit diese sehr schwache Bedingung zerstört ist. Jedenfalls glaube ich, es dürfte leichter sein, wenn ich a) kapiert habe, genau da liegt nämlich MEIN PROBLEM:
Bisher habe ich mir das ganze mit kanonischen Basen vorgestellt und auch im R2 visualisiert. Es hat sich ein interessanter Effekt gezeigt: Die Operation im Aufgabentext transformiert nämlich e1 und e2 so, dass sie beide im selben Spann(e1)=Spann(e2) liegen (voneinander weg zeigend auf einer Geraden durch den Ursprung). Sie sind also natürlich linear abhängig. Aber da ich ja wohl für einen mehrdimensionalen Vektorraum keinen geometrischen Beweis führen kann hilft mir das zunächst wenig.
Dann dünkte mir, dass es irgendwas mit einer Symmetrie um die Null zu tun haben könnte. Denn wähle ich z.B. zwei verschieden Alpha=1/2, so werden zwei Vektoren [mm] (u_i-u) [/mm] durch die Symmetrie der Subtraktion von 1-1/2 und 0-1/2 zu gegenseitigen Vielfachen! Oder wähle ich nur ein Alpha=1, so wird ein Vektor [mm] u_i-u [/mm] zum Nullvektor, der ja per Definition linear abhängig ist! Schön und gut, aber dieses Sammelsurium an Einzelfällen nützt mir nichts, weil ich kein verbindendes Element erkennen kann, um zu verallgemeinern! Also in welche Richtung ist zu denken um in der Sache voranzukommen? Ich bin zwar kein Mathematiker, habe aber noch einige Tage Zeit und plane diese Aufgabe zu erledigen. Es ist ja auch köstlich es immer wieder zu durchdenken. Aber leider gibt es diese Abgabetermine und weil ja auch alle Zeit Geld kostet benötige ich jetzt einen Anstoss.
Also herbei mit euren Tipps ... vielleicht ist es ja auch einfacher es indirekt zu zeigen und Aufg. b) gleich mitzunehmen. Aber ich muss zugeben, dass das mich im Moment noch überfordert. Naja wie dem auch sei. Bitte antwortet möglichst rasch! Ich werde ihn jetzt suchen, wohl aber keinen Schlaf finden mit dieser Frage im Kopf.
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Hallo Vielfrager,
na ich hoffe mal die Aufgabe hat Dir nicht den Schlaf geraubt  .
Du schreibst, man könnte in Teil a) der Aufgabenstellung [mm] $\lambda$ [/mm] durch [mm] $\alpha$ [/mm] ersetzen. Das muß man sogar .
Also angenommen, die Vektoren [mm] $u_1 [/mm] -u, [mm] \ldots, u_n [/mm] -u$ seien linear unabhängig; d.h. es gibt eine "nichttriviale" Darstellung (also eine Linearkombination mit wenigstens einem Koeffizienten von 0 verschieden) des Nullvektors durch die Vektoren [mm] $u_i [/mm] -u, [mm] \quad i=1,\ldots,n$:
[/mm]
[mm]\vec{0}=\summe_{i=1}^n \lambda_i(u_i -u)[/mm].
Form das mal'n büschn um, so daß eine Darstellung eines Vielfachen von $u$ herauskommt: Der Clou ist, daß wegen der linearen Unabhängigkeit der [mm] $u_i$ [/mm] die Darstellung eindeutig ist.
Mfg
zahlenspieler
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| Aufgabe | | Aufgabenstellung wie beim root-Post dieses Threads! |
Hallo nochmal Zahlenspieler et al.
Ich habe nun nach deinem Tipp eine Lösung ausgearbeitet und bitte um rasche Überprüfung. Sie scheint mir ausreichend schlüssig:
LÖSUNGSVORSCHLAG
Gelte also [mm] \overrightarrow{0} = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i (u_i - u) [/mm]
(Dann sei [mm]\lambda_i \not= 0[/mm])
[mm] = \sum_{i=1}^{n} (\lambda_i u_i) - \sum_{i=1}^{n} (\lambda_i u) [/mm]
(Nun schränken wir weiter ein: Sei [mm]\lambda_i = \alpha_i[/mm])
[mm] = u - \sum_{i=1}^{n} (\lambda_i u)[/mm]
[mm] = u - u (\sum_{i=1}^{n} \lambda_i) [/mm]
(Und nur mit der weiteren Einschränkung: [mm]\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = 1[/mm])
[mm] = u - u * 1 = 0 [/mm]
Es ist also offensichtlich, dass die Bedingung nur dann erfüllt ist, wenn [mm] (\lambda_i = \alpha_i) \wedge (\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = 1) \gdw \sum_{i=1}^{n} \alpha_i = 1[/mm]
Mithin gilt auch die "Rückrichtung" des Beweises unter den Einschränkungen, da es sich durchweg um Äquivalenzumformungen handelt.
Ist das so i.O.??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 So 03.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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