Beweis linerare Unabhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe bei folgender Aufgabe keine richtigen Anhaltspunkt, aber lest selbst:
Zeigen oder widerlegen Sie: Ist M [mm] \subseteq [/mm] [mm] \IR [/mm] linear unabhängig in [mm] ( \IR,+) [/mm] über [mm] \IQ [/mm], so auch in [mm] ( \IR,+) [/mm] über [mm] \IR [/mm]?
Irgendeinen Trick muss es bei der Aufgabe geben, wahrscheinlich muss man ein geschicktes Gegenbeispiel finden...
Danke im Voraus.
Christian.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Sa 15.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo christian
hier würde ich es mal mit widerlegen probieren. betrachtets du [m] \mathbb{R} = \mathbb{R}^1 [/m] also [m] \mathbb{R} [/m]-vektorraum, so ist dieser $1$-dimensional, eine basis ist z.b. [m] \{1\} [/m]. als [m] \mathbb{Q} [/m]-vektorraum ist [m] \mathbb{R} = \mathbb{R}^1 [/m] jedoch [mm] $\infty$-dimensional.
[/mm]
betrachte hier z.b. konkret die menge [m] M := \{1, \sqrt{2} \} \subset \mathbb{R} [/m]. über [m] \mathbb{R} [/m] ist diese mit sicherheit linear abhängig, denn wähle z.b. [m] \mu = \sqrt{2}, \nu = -1 [/m], dann ist die gleichung
[m] \mu1 + \nu \sqrt{2} = 0 [/m]
offensichtlich nicht-trivial erfüllt.
angenommen $M$ wäre auch über [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] linear abhängig, dann gäbe es [m] \mu, \nu \in \mathbb{Q} [/m], so dass
[m] \mu1 + \nu \sqrt{2} = 0 [/m].
dann gilt aber auch [m] \nu \sqrt{2} = - \mu [/m] und wenn du [m] \nu \not= 0 [/m] annimmst (was du hier natürlich darfst, da sonst [mm] $\mu$ [/mm] auch null sein müsste), gilt also
[m] \sqrt{2} = - \frac{\mu}{\nu} \in \mathbb{Q} [/m].
was ja wohl ein widerspruch ist!
grüße
andreas
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Hallo Andreas!
Danke wieder einmal für deine prompte Antwort, aber mir ist noch ein Schritt in deiner Argumentation unklar.
"(...) als [m] \IQ [/m] Vektorraum ist [m] \IR = \IR^{1} [/m] jedoch [m] \infty [/m] - dimensional."
Grüße,
Christian.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Sa 15.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi Christian
das gehört nicht zu meiner argumentation, das wollte ich nur mal anmerken (ist aber mit einem mächtigkeitsargument nicht so schwer zu zeigen - brauchst du hier aber wirklich nicht). ich wollte damit nur meinen ansatz begründen, das man probiert es zu wiederlegen und nicht probiert die aussage zu beweisen!
die antwort geht eigentlich bei "betrachte hier z.b. konkret ..." los.
grüße
andreas
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