Beweis metrischer Raum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo !
Da ich leider ganz schlecht im Beweisen bin..würde ich mich freuen wenn mir jmd. dabei helfen könnte...
Aufgabe1
Beweise
(i) Sei (M,d) ein metrischer Raum und f,g: M �� R stetig in x0. Dann sind βf +δg, fg und f/g (falls g(x) ≠ 0 für x∈ M) stetig in x0.
(ii) Polynome und rationale Funktionen sind stetige Funktionen. (rationale Funktionen = Quotienten p(x)/q(x) von Polynomen p(x) und q(x); Sie sind definiert für [mm] R\{Nullstellen von q(x)}).
[/mm]
Ich würde mich wahnsinnig freuen wenn mir jemand entscheidend helfen kann z.b. ein Satz mit dem dies einfach geht und vllt. auch wenns nicht unbedingt das beste ist.. ein kompletter Lösungsweg.
Danke im Vorraus
Mastamind259
Ich habe diese Frage ich keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Do 12.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
der Beweis hängt davon ab, wie ihr die Stetigkeit definiert habt.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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wir haben die Stetigkeit so definiert
Seien E und F normierte Räume
Seien f: D [mm] \subset [/mm] E [mm] \to [/mm] F eine Abbildung und [mm] x_{0} \in [/mm] D
a) f heißt stetig in [mm] x_{0} [/mm] wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} [/mm] f(x) = [mm] f(x_{0})
[/mm]
b) Ist f in jedem von D stetig, so heißt f stetig
könnte mir jmd. helfen wie der Beweis dann sein soll ?
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> wir haben die Stetigkeit so definiert
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> Seien E und F normierte Räume
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> Seien f: D [mm]\subset[/mm] E [mm]\to[/mm] F eine Abbildung und [mm]x_{0} \in[/mm] D
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> a) f heißt stetig in [mm]x_{0}[/mm] wenn [mm]\limes_{x\rightarrow\x_{0}}[/mm]
> f(x) = [mm]f(x_{0})[/mm]
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> b) Ist f in jedem von D stetig, so heißt f stetig
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> könnte mir jmd. helfen wie der Beweis dann sein soll ?
Das hängt noch davon ab, über welche Eigenschaften des [mm] $\lim_{x\rightarrow x_0}$ [/mm] Du schon als selbstverständlich wahr verweisen darfst. In der Regel beweist man nämlich Eigenschaften des [mm] $\lim_{x\rightarrow x_0}$ [/mm] zuerst und überträgt diese dann sehr direkt auf die Beweise, die Du liefern sollst.
Eventuell musst Du zu diesem Zweck auch den Limes durch eine (beliebig angenommene) Testfolge [mm] $(x_n)_{n\in \IN}$ [/mm] mit [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}x_n [/mm] = [mm] x_0$ [/mm] ersetzen und dann beweisen dass gilt
[mm]\lim_{n\rightarrow \infty}(\beta f(x_n)+\delta g(x_n)) = \beta \lim_{n\rightarrow \infty} f(x_n)+\delta \lim_{n\rightarrow \infty} g(x_n) = \beta f(\lim_{n\rightarrow \infty} x_n)+ \delta g(\lim_{n\rightarrow \infty}x_n)=\beta f(x_0)+\delta g(x_0)=\big(\beta f+\delta g\big)(x_0)[/mm]
Wobei das erste Gleichheitszeichen gilt, weil eben der [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}$ [/mm] gewisse angenehme Eigenschaften besitzt, die ich hier kurzerhand als bereits bewiesen / bekannt vorausgesetzt habe.
Das zweite Gleichheitszeichen, andererseits, gilt wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von $f$ und $g$ an der Stellle [mm] $x_0$ [/mm] und weil [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty} x_n=x_0$ [/mm] eben eine "Testfolge" ist.
Da die Testfolge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] beliebig war, dürfen wir schliessen, dass also die formal entsprechende Aussage für den [mm] $\lim_{x\rightarrow x_0}$ [/mm] gilt:
[mm]\lim_{x\rightarrow x_0}(\beta f(x)+\delta g(x)) = (\beta f+\delta g\big)(x_0)[/mm]
Etwas mühsamer wäre die Formulierung eines Beweises, wenn Du nicht auf Testfolgen zurückgreifen dürftest, sondern den Beweis direkt auf eine [mm] $\epsilon$-$\delta$ [/mm] Definition des [mm] $\lim_{x\rightarrow x_0}$ [/mm] stützen müsstest (obwohl dies natürlich auch geht): In diesem Falle müsstest Du für ein gegebenes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ angeben können, so dass für alle [mm] $d(x,x_0)< \delta$ [/mm] gilt:
[mm]\Big|\big[\beta f(x)+\delta g(x)\big]-\big[\beta f(x_0)+\delta g(x_0)\big]\Big| < \varepsilon[/mm]
Um ein geeignetes [mm] $\delta [/mm] > 0$ wählen zu können, wird man sich natürlich darauf stützen, dass sich die Dreiecksungleichung wie folgt anwenden lässt:
[mm]\Big|\big[\beta f(x)+\delta g(x)\big]-\big[\beta f(x_0)+\delta g(x_0)\big]\Big|\leq |\beta|\cdot \big|f(x)-f(x_0)\big|+|\delta|\cdot \big|g(x)-g(x_0)\big|[/mm]
Wobei sich die beiden Differenzen [mm] $\big|f(x)-f(x_0)\big|$ [/mm] und [mm] $\big|g(x)-g(x_0)\big|$ [/mm] wegen der Stetigkeit von $f$ bzw. $g$ an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] z.B. kleiner als [mm] $\frac{\varepsilon}{2(|\beta|+|\delta|+1)}$ [/mm] machen lassen, sofern man [mm] $d(x,x_0)$ [/mm] genügend klein wählt, sagen wir kleiner als [mm] $\delta_f$ [/mm] bzw. [mm] $\delta_g$. [/mm] Dann sollte [mm] $\delta [/mm] := [mm] \min(\delta_f,\delta_g)$ [/mm] genügend klein gewählt sein.
Die Beweise für die restlichen Aussagen über stetige Funktionen, die Du beweisen musst, können im wesentlichen im gleichen Stil geführt werden.
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