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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Mi 13.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Sei [mm] X=\IR^{2} [/mm] und sei die Abstandsfunktion definiert durch [mm] d(x,y):=max\{|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|\}. [/mm] Man beweise, dass (X,d) ein metrischer Raum ist. |
Hallo^^
Ich habe versucht die Eigenschaften eines metrischen Raumes nachzuweisen, es wäre gut, wenn das jemand überprüfen könnte.Es gibt 4 Eigenschaften,die ich nachweisen muss. Zunächst habe ich aber eine andere Frage. Wie kann man den Term [mm] max\{|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|\} [/mm] in Worte fassen? Ich versteh das mit dem max nämlich nicht ganz. Der Term [mm] \{|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|\} [/mm] ist doch eindeutig definiert,wie kann es ein Maximum davon geben? Zu den Eigenschaften:
a) zz:d(x,y) [mm] \ge [/mm] 0. Da der Betrag immer [mm] \ge [/mm] 0 ist,gilt dies schonmal. (Reicht das als Beweis?)
b) zz:d(x,y)=d(y,x). Es ist [mm] d(x,y)=max\{|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|\} [/mm] und [mm] d(y,x)=max\{|y_{1}-x_{1}|,|y_{2}-x_{2}|\}.Da |x_{1}-y_{1}|=|y_{1}-x_{1}|, [/mm] gilt die zu zeigende Gleichheit.
c) zz:d(x,r)+d(r,y) [mm] \ge [/mm] d(x,y), r [mm] \in [/mm] X.
Es ist [mm] d(x,r)+d(r,y)=max\{|x_{1}-r_{1}|,|x_{2}-r_{2}|\}+max\{|r_{1}-y_{1}|,|r_{2}-y_{2}|\}. [/mm] Hier weiß ich leider nicht,wie ich weitermachen kann.
d) zz:d(x,y)=0 [mm] \gdw [/mm] x=y.
[mm] "\Rightarrow":Angen. d(x,y)=0=max\{|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|\} \Rightarrow |x_{1}-y_{1}|=|x_{1}-y_{1}|=0 \Rightarrow x_{2}-y_{2}=0, x_{1}-y_{1}=0 \Rightarrow x_=y_{1},x_{2}=y_{2} \Rightarrow [/mm] x=y
[mm] "\Leftarrow":Angen. [/mm] x=y: [mm] \Rightarrow x_{1}=y_{1},x_{2}=y_{2} \Rightarrow d(x,y)=max\{|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|\}=max\{0|,|0|\} \Rightarrowd(x,y)=0.
[/mm]
Sind meine Beweise so in Ordnung?
Vielen Dank
lg
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> Sei [mm]X=\IR^{2}[/mm] und sei die Abstandsfunktion definiert durch
> [mm]d(x,y):=max\{|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|\}.[/mm] Man beweise,
> dass (X,d) ein metrischer Raum ist.
>
> Hallo^^
>
> Ich habe versucht die Eigenschaften eines metrischen Raumes
> nachzuweisen, es wäre gut, wenn das jemand überprüfen
> könnte.Es gibt 4 Eigenschaften,die ich nachweisen muss.
> Zunächst habe ich aber eine andere Frage. Wie kann man den
> Term [mm]max\{|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|\}[/mm] in Worte fassen?
> Ich versteh das mit dem max nämlich nicht ganz. Der Term
> [mm]\{|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|\}[/mm] ist doch eindeutig
> definiert,wie kann es ein Maximum davon geben? Zu den
> Eigenschaften:
>
> a) zz:d(x,y) [mm]\ge[/mm] 0. Da der Betrag immer [mm]\ge[/mm] 0 ist,gilt dies
> schonmal. (Reicht das als Beweis?)
Warum nicht? [mm]abs(\cdot): \IR \to [0,\infty)[/mm] damit >=0. Und das maximum macht auch nichts kaputt.
>
> b) zz:d(x,y)=d(y,x). Es ist
> [mm]d(x,y)=max\{|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|\}[/mm] und
> [mm]d(y,x)=max\{|y_{1}-x_{1}|,|y_{2}-x_{2}|\}.Da |x_{1}-y_{1}|=|y_{1}-x_{1}|,[/mm]
und selbiges für die [mm]|x_2-y_2|\ldots[/mm]
> gilt die zu zeigende Gleichheit.
jep
>
> c) zz:d(x,r)+d(r,y) [mm]\ge[/mm] d(x,y), r [mm]\in[/mm] X.
> Es ist
> [mm]d(x,r)+d(r,y)=max\{|x_{1}-r_{1}|,|x_{2}-r_{2}|\}+max\{|r_{1}-y_{1}|,|r_{2}-y_{2}|\}.[/mm]
> Hier weiß ich leider nicht,wie ich weitermachen kann.
Mach dir klar, dass wirklich gilt:
[mm]max(|x_1-y_1|,|x_2-y_2|)\leq max(|x_1-z_1|,|x_2-z_2|)+max(|z_1-y_1|,|z_2-y_2|)[/mm]
Alternativ kannst du dir auch folgendes helfen:
[mm]max(a,b)=\frac{a+b+|a-b|}{2}[/mm]
>
> d) zz:d(x,y)=0 [mm]\gdw[/mm] x=y.
> => [mm] d(x,y)=0=max\{|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|\} \blue{\Rightarrow |x_{1}-y_{1}|=|x_{1}-y_{1}|=0} \Rightarrow x_{2}-y_{2}=0, x_{1}-y_{1}=0 \Rightarrow x_=y_{1},x_{2}=y_{2} \Rightarrow [/mm]
Wenn dir klar ist, das automatisch das Blaue folgt dann schon. Denn i.A. folgt aus max(a,b)=0 nicht a=b=0.
<=
ist klar
Also i.O.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mi 13.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo wieschoo, danke für deine flotte Hilfe.
> > c) zz:d(x,r)+d(r,y) [mm]\ge[/mm] d(x,y), r [mm]\in[/mm] X.
> > Es ist
> >
> [mm]d(x,r)+d(r,y)=max\{|x_{1}-r_{1}|,|x_{2}-r_{2}|\}+max\{|r_{1}-y_{1}|,|r_{2}-y_{2}|\}.[/mm]
> > Hier weiß ich leider nicht,wie ich weitermachen kann.
> Mach dir klar, dass wirklich gilt:
> [mm]max(|x_1-y_1|,|x_2-y_2|)\leq max(|x_1-z_1|,|x_2-z_2|)+max(|z_1-y_1|,|z_2-y_2|)[/mm]
>
Anhand einer Skizze habe ich mir das schon klar gemacht, aber den Beweis krieg ich nicht hin.
> Alternativ kannst du dir auch folgendes helfen:
> [mm]max(a,b)=\frac{a+b+|a-b|}{2}[/mm]
>
> >
> > d) zz:d(x,y)=0 [mm]\gdw[/mm] x=y.
> > => [mm]d(x,y)=0=max\{|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|\} \blue{\Rightarrow |x_{1}-y_{1}|=|x_{1}-y_{1}|=0} \Rightarrow x_{2}-y_{2}=0, x_{1}-y_{1}=0 \Rightarrow x_=y_{1},x_{2}=y_{2} \Rightarrow[/mm]
>
> Wenn dir klar ist, das automatisch das Blaue folgt dann
> schon. Denn i.A. folgt aus max(a,b)=0 nicht a=b=0.
Achso,ich hatte gedacht, dass schon im Allgemeinen aus max(a,b)=0 a=b=0 folgt. Wenn das nicht so ist, wird das wohl am Betrag liegen. Vielleicht so: Da der Betrag nie kleiner als Null werden kann, muss das blaue gelten, wenn das Maximum=0 sein soll ?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Mi 13.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo wieschoo, danke für deine flotte Hilfe.
> > > c) zz:d(x,r)+d(r,y) [mm]\ge[/mm] d(x,y), r [mm]\in[/mm] X.
> > > Es ist
> > >
> >
> [mm]d(x,r)+d(r,y)=max\{|x_{1}-r_{1}|,|x_{2}-r_{2}|\}+max\{|r_{1}-y_{1}|,|r_{2}-y_{2}|\}.[/mm]
> > > Hier weiß ich leider nicht,wie ich weitermachen kann.
> > Mach dir klar, dass wirklich gilt:
> > [mm]max(|x_1-y_1|,|x_2-y_2|)\leq max(|x_1-z_1|,|x_2-z_2|)+max(|z_1-y_1|,|z_2-y_2|)[/mm]
>
> >
>
> Anhand einer Skizze habe ich mir das schon klar gemacht,
> aber den Beweis krieg ich nicht hin.
Wenn gar nichts hilft, kannst du immer noch alle Möglichkeiten durchprobieren:
1. [mm] $|x_1-y_1| \le |x_2-y_2| \implies \max(|x_1-y_1|,|x_2-y_2|) [/mm] = [mm] |x_2-y_2| [/mm] $
Es ist [mm] $|x_2-z_2| \le \max(|x_1-z_1|,|x_2-z_2|)$ [/mm] und [mm] $|z_2-y_2| \le \max(|z_1-y_1|,|z_2-y_2|)$, [/mm] daher gilt mit der gewöhnlichen Dreiecksungleichung
[mm] \max(|x_1-y_1|,|x_2-y_2|) = |x_2-y_2| \le |x_2-z_2| + |z_2-y_2| \le \max(|x_1-z_1|,|x_2-z_2|) + \max(|z_1-y_1|,|z_2-y_2|) [/mm] .
usw.
> > Alternativ kannst du dir auch folgendes helfen:
> > [mm]max(a,b)=\frac{a+b+|a-b|}{2}[/mm]
> >
> > >
> > > d) zz:d(x,y)=0 [mm]\gdw[/mm] x=y.
> > > => [mm]d(x,y)=0=max\{|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|\} \blue{\Rightarrow |x_{1}-y_{1}|=|x_{1}-y_{1}|=0} \Rightarrow x_{2}-y_{2}=0, x_{1}-y_{1}=0 \Rightarrow x_=y_{1},x_{2}=y_{2} \Rightarrow[/mm]
>
> >
> > Wenn dir klar ist, das automatisch das Blaue folgt dann
> > schon. Denn i.A. folgt aus max(a,b)=0 nicht a=b=0.
>
> Achso,ich hatte gedacht, dass schon im Allgemeinen aus
> max(a,b)=0 a=b=0 folgt. Wenn das nicht so ist, wird das
> wohl am Betrag liegen. Vielleicht so: Da der Betrag nie
> kleiner als Null werden kann, muss das blaue gelten, wenn
> das Maximum=0 sein soll ?
Richtig. Du hast ja zusätzlich zu [mm] $\max(a,b)=0$ [/mm] auch noch [mm] $a\ge [/mm] 0$ und [mm] $b\ge [/mm] 0$. Wenn du nun noch berücksichtigst, dass per Definition des Maximums gilt: [mm] $\max(a,b)\ge [/mm] a$ und [mm] $\max(a,b)\ge [/mm] b$, dann folgt aus [mm] $\max(a,b)=0$:
[/mm]
[mm] 0 \le a \le \max(a,b)=0 [/mm] und [mm] 0 \le b \le \max(a,b)=0 [/mm]
und daher $a=0$ und $b=0$.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 So 17.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> Wenn gar nichts hilft, kannst du immer noch alle
> Möglichkeiten durchprobieren:
>
> 1. [mm]|x_1-y_1| \le |x_2-y_2| \implies \max(|x_1-y_1|,|x_2-y_2|) = |x_2-y_2|[/mm]
>
> Es ist [mm]|x_2-z_2| \le \max(|x_1-z_1|,|x_2-z_2|)[/mm] und
> [mm]|z_2-y_2| \le \max(|z_1-y_1|,|z_2-y_2|)[/mm], daher gilt mit der
> gewöhnlichen Dreiecksungleichung
>
> [mm]\max(|x_1-y_1|,|x_2-y_2|) = |x_2-y_2| \le |x_2-z_2| + |z_2-y_2| \le \max(|x_1-z_1|,|x_2-z_2|) + \max(|z_1-y_1|,|z_2-y_2|)[/mm]
> .
>
> usw.
Ah ok,vielen Dank,das ist leicht einzusehen. Ich habs noch mit [mm] |x_{2}-y_{2}| \le |x_{1}-y_{1}| [/mm] durchgerechnet und es hat geklappt. Die Möglichkeit [mm] |x_{2}-y_{2}|=|x_{2}-y_{2}| [/mm] muss ich doch nicht extra durchgehen, denn ist schon enthalten in [mm] \ge [/mm] und [mm] \le [/mm] oder?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> Hallo,
>
> > Wenn gar nichts hilft, kannst du immer noch alle
> > Möglichkeiten durchprobieren:
> >
> > 1. [mm]|x_1-y_1| \le |x_2-y_2| \implies \max(|x_1-y_1|,|x_2-y_2|) = |x_2-y_2|[/mm]
>
> >
> > Es ist [mm]|x_2-z_2| \le \max(|x_1-z_1|,|x_2-z_2|)[/mm] und
> > [mm]|z_2-y_2| \le \max(|z_1-y_1|,|z_2-y_2|)[/mm], daher gilt mit der
> > gewöhnlichen Dreiecksungleichung
> >
> > [mm]\max(|x_1-y_1|,|x_2-y_2|) = |x_2-y_2| \le |x_2-z_2| + |z_2-y_2| \le \max(|x_1-z_1|,|x_2-z_2|) + \max(|z_1-y_1|,|z_2-y_2|)[/mm]
> > .
> >
> > usw.
>
> Ah ok,vielen Dank,das ist leicht einzusehen. Ich habs noch
> mit [mm]|x_{2}-y_{2}| \le |x_{1}-y_{1}|[/mm] durchgerechnet und es
> hat geklappt. Die Möglichkeit [mm]|x_{2}-y_{2}|=|x_{2}-y_{2}|[/mm]
> muss ich doch nicht extra durchgehen, denn ist schon
> enthalten in [mm]\ge[/mm] und [mm]\le[/mm] oder?
So ist es.
>
> Vielen Dank
> lg
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Mi 13.04.2011 | | Autor: | wieschoo |
Immer Werte einsetzen und durchprobieren:
$max(-5,0)=0$ und [mm] $-5\neq [/mm] 0$
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