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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Beweis mit Anordnungsaxiomen
Beweis mit Anordnungsaxiomen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis mit Anordnungsaxiomen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 Sa 21.11.2009
Autor: azrael1

Aufgabe
Beweisen Sie, dass auf [mm] \IC [/mm] keine Ordnungsrealtion existiert, die den Anordnungsaxiomen (A6) - (A8) (eines Koerpers) genuegt.

Nun weiss ich erstmal nicht, ob die Bezeichnungen fuer die Anordnungsaxiome allgemein definiert sind, oder ob unser Prof die eben so eingefuehrt hat.
Ok also die Anordnungsaxiome waeren:
1. fuer zwei Elemente a,b gilt genau eine der folgenden Beziehungen a=b, a>b, a<b
2. a<b [mm] \wedge [/mm] b<c [mm] \Rightarrow [/mm] a<c
3. a<b [mm] \Rigtharrow [/mm] a+c < b+c, a<b [mm] \Rightarrow [/mm] ac<bc
Hab hier nun mal die ganzen a,b,c [mm] \in [/mm] >0 usw weggelassen

Also man hat uns den Tipp gegeben, hier einen Widerspruchsbeweis zu fuehren und evtl. 0,i mit 0>i und 0<i zu verwenden.
Wie fange ich jedoch erst an?
Also ich dachte, man schreibt nun [mm] \exists [/mm] Ordungsrealtion [mm] \IC [/mm] aber dann???
Was ist dann ueberhaupt zu beweisen??

        
Bezug
Beweis mit Anordnungsaxiomen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:05 So 22.11.2009
Autor: ms2008de

Hallo
> Beweisen Sie, dass auf [mm]\IC[/mm] keine Ordnungsrealtion
> existiert, die den Anordnungsaxiomen (A6) - (A8) (eines
> Koerpers) genuegt.
>  Nun weiss ich erstmal nicht, ob die Bezeichnungen fuer die
> Anordnungsaxiome allgemein definiert sind, oder ob unser
> Prof die eben so eingefuehrt hat.
>  Ok also die Anordnungsaxiome waeren:
>  1. fuer zwei Elemente a,b gilt genau eine der folgenden
> Beziehungen a=b, a>b, a<b
>  2. a<b [mm]\wedge[/mm] b<c [mm]\Rightarrow[/mm] a<c
>  3. a<b [mm]\Rigtharrow[/mm] a+c < b+c, a<b [mm]\Rightarrow[/mm] ac<bc
>  Hab hier nun mal die ganzen a,b,c [mm]\in[/mm] >0 usw weggelassen
>  
> Also man hat uns den Tipp gegeben, hier einen
> Widerspruchsbeweis zu fuehren und evtl. 0,i mit 0>i und 0<i
> zu verwenden.
>  Wie fange ich jedoch erst an?
> Also ich dachte, man schreibt nun [mm]\exists[/mm] Ordungsrealtion
> [mm]\IC[/mm] aber dann???
>  Was ist dann ueberhaupt zu beweisen??

Na was zu beweisen ist, steht doch in der Aufgabenstellung.
Ich kenn das so : Ang. i>0 , dann müsste aber aber auch i*i=-1 > 0 sein - Widerspruch.
Ang. i<0, dann wäre -i>0 und somit [mm] (-i)^2 [/mm] =-1 > 0 sein - Widerspruch.
Und ang. i=0 dann wäre [mm] i^2= [/mm] -1 = [mm] 0^2 [/mm] = 0 - Widerspruch.
Also ist [mm] \IC [/mm] kein geordneter Körper.
Wir haben eben vorher definiert, dass für x,y aus einem geordneten Körper mit x>0 , y>0 [mm] \Rightarrow [/mm] xy>0  und eben noch vorher bewiesen, dass für x>0 in einem geordneten Körper -x<0 ist und umgekehrt und zwar weil: Wenn x>0 ist, gilt: 0= (-x) + x > (-x)+0 = -x also ist -x <0, die andere Richtung würde analog gehen.

Viele Grüße

Bezug
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