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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Beweis mit Binomischen Satz
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Beweis mit Binomischen Satz: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:25 Sa 10.11.2007
Autor: Physiker

Aufgabe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Beweise mit Hilfe des Binomischen Satzes:  [mm] (1+x)^n \ge \bruch{n^2}{4}*x^2 [/mm]    für jede reelle Zahl [mm] x\ge0 [/mm] und jede natürliche Zahl [mm] n\ge2 [/mm]

Wie genau löse ich das? Ich habe leider wegen Krankheit gefehlt und bin etwas überfordert.

        
Bezug
Beweis mit Binomischen Satz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:41 Sa 10.11.2007
Autor: Tyskie84

Hallo Physiker!

Kennst du die Bernoullische Ungleichung? Wenn ja dann hast du es schon fast geschafft! Du kannst deine Ungleichung [mm] (1+x)^{n} \ge \bruch{n²}{4} \*x²durch [/mm] Induktion beweisen!

Fang mit n=0 an und schau ob die Ungleichung für n=0 erfüllt bleibt und dann geh von n [mm] \to [/mm] n+1

Gruß

Bezug
                
Bezug
Beweis mit Binomischen Satz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:01 So 11.11.2007
Autor: Physiker

Aber da sind doch zwei Variablen drin mit x [mm] \ge [/mm] 0  und n [mm] \le [/mm] 2 . Außerdem soll ich das ja mit dem binomischen Satz machen... An Bernoulli dachte ich auch schon, aber scheinbar ist es doch nicht so einfach... oder?

Bezug
                        
Bezug
Beweis mit Binomischen Satz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:11 So 11.11.2007
Autor: schachuzipus

Hallo,


> Aber da sind doch zwei Variablen drin mit x [mm]\ge[/mm] 0  und n
> [mm] \red{\ge} [/mm] 2 . Außerdem soll ich das ja mit dem binomischen Satz
> machen... An Bernoulli dachte ich auch schon, aber
> scheinbar ist es doch nicht so einfach... oder?

Hast du den binomischen Lehrsatz mal hingeschrieben?

Dann siehst du's fast direkt:

[mm] $(1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n\pmat{n\\k}\cdot{}x^k=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+....+nx^{n-1}+x^n$ [/mm]

In dieser Summe sind alle Summanden [mm] \ge [/mm] 0, also ist das

[mm] $\ge \frac{n(n-1)}{2}x^2=\frac{2(n(n-1))}{4}x^2=...$ [/mm]

Rechne mal den Zähler aus, klammere [mm] n^2 [/mm] aus und schätze den Rest ab.

Bedenke dabei, dass [mm] n\ge [/mm] 2 ist


Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Beweis mit Binomischen Satz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:22 So 11.11.2007
Autor: Physiker

Bist ein Schatzipus... Hatte bis jetzt immer nur die Summe hingeschrieben. Danke, das wars was ich übersehen hab. ^^

Bezug
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