Beweis mit Determinanten < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] A\in\IR^{3 \times 3} [/mm] eine Matrix mit den Eigenschaften:
1. höchstens 5 Einträge von A sind gleich 1,
2. alle anderen Einträge sind gleich 0.
Bestimmen Sie alle möglichen Werte für die Determinante von A. Beweisen Sie ihre Behauptung und
zeigen Sie, dass keine anderen Werte auftreten können.
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Hallo!
Ich weiß nicht so genau wie ich das formal beweisen kann.
Mein Ansatz ist die Sarrussche Regel:
det(A) = aei+bfg+cdh+(-afh)+(-bdi)+(-ceg)
Da kann man sehen, das die Determinaten im ganzzahligen Bereich zwischen -3 und 3 liegen müssen:
Ein Produkt aus 3 Matrixeinträgen ist entweder 0 oder 1. Also ist die obige Summe maximal, wenn die Summanden maximal sind also: det_max(A) = 1+1+1+0+0+0 = 3.
Minimal analog.
Dann kann man noch -3, -2, 2, 3 als Determinanten ausschließen, wegen Eigenschaft 1.
Also müssten die Determinanten -1, 0, 1 sein.
Aber ist das nicht zu informal? Kann man das auch anders beweisen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Di 17.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Sei A [mm]\in R^{3 \times 3}[/mm] eine Matrix mit den
> Eigenschaften:
> 1. höchstens 5 Einträge von A sind gleich 1,
> 2. alle anderen Einträge sind gleich 0.
> Bestimmen Sie alle möglichen Werte für die Determinante
> von A. Beweisen Sie ihre Behauptung und
> zeigen Sie, dass keine anderen Werte auftreten können.
>
> Hallo!
>
> Ich weiß nicht so genau wie ich das formal beweisen kann.
> Mein Ansatz ist die Sarrussche Regel:
> det(A) = aei+bfg+cdh+(-afh)+(-bdi)+(-ceg)
> Da kann man sehen, das die Determinaten im ganzzahligen
> Bereich zwischen -3 und 3 liegen müssen:
> Ein Produkt aus 3 Matrixeinträgen ist entweder 0 oder 1.
> Also ist die obige Summe maximal, wenn die Summanden
> maximal sind also: det_max(A) = 1+1+1+0+0+0 = 3.
> Minimal analog.
Ok.
> Dann kann man noch -3, -2, 2, 3 als Determinanten
> ausschließen, wegen Eigenschaft 1.
Das müssteste du dann genauer ausformulieren, wenn du es aufschreibst.
> Also müssten die Determinanten -1, 0, 1 sein.
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> Aber ist das nicht zu informal? Kann man das auch anders
> beweisen?
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Zu informal? MMn nicht. Passt so.
Kann man es anders beweisen? Man könnte es noch mit der Formel von Leibniz versuchen, denn die meisten Summanden werden zu Null. Aber dein Weg ist wohl leichter.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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