Beweis mit Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Mi 07.01.2009 | | Autor: | biic |
| Aufgabe | Seien f,g:(-1,1) [mm] \to \IR [/mm] stetig mit f(x)*g(x)=x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (-1,1). Zeigen Sie:
(i) Sind f und g differenzierbar, so gilt: f(0)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] g(0) [mm] \not= [/mm] 0.
(ii) Ohne die Differenzierbarkeits-Voraussetzung ist der Schluss in (i) falsch. |
Hallo zusammen.
Habe ein Problem mit meinem Übungszettel. Wäre schön wenn mir dabei jemand helfen könnte:
Mein Ansatz:
Wenn f(x)*g(x) = x , müssen f(x)*g(x) und x dieselben Ableitungen haben, also:
(f(x)*g(x))'=x' [mm] \gdw [/mm] f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x) = 1, also mit 0 in die zweite Gleichung eingesetzt:
f'(0)*g(0)+f(0)*g'(0) = 1
[mm] \gdw [/mm] f'(0)*g(0) = 1, da f(0) = 1
Also kann g(0) nicht 0 sein, sonst hätte man 0=1.
Allerdings ist
(f(0)*g(0))'=0' [mm] \gdw [/mm] f'(0)*g(0)+f(0)*g'(0) = 0, hier gibt es keinen Grund dass g(0) [mm] \not= [/mm] 0 gelten muss.
Kann mir jemand sagen wie ich daraus komme ? Oder läuft die Idee vollkommen in die falsche Richtung ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Mi 07.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Wenn f(x)*g(x) = x , müssen f(x)*g(x) und x dieselben
> Ableitungen haben, also:
>
> (f(x)*g(x))'=x' [mm]\gdw[/mm] f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x) = 1, also mit 0
> in die zweite Gleichung eingesetzt:
>
> f'(0)*g(0)+f(0)*g'(0) = 1
> [mm]\gdw[/mm] f'(0)*g(0) = 1, da f(0) = 1
... f(0)=0 ...
> Also kann g(0) nicht 0 sein, sonst hätte man 0=1.
Ja.
> Allerdings ist
> (f(0)*g(0))'=0' [mm]\gdw[/mm] f'(0)*g(0)+f(0)*g'(0) = 0, hier gibt
> es keinen Grund dass g(0) [mm]\not=[/mm] 0 gelten muss.
Was soll das zweite denn? Du sollst doch Ableitungen von Funktionen bilden und dann erst einsetzen. Klar, wenn du erst einsetzt ist alles immer konstant, und es ergibt 0. So darfst du das nicht machen.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Mi 07.01.2009 | | Autor: | biic |
Da war ich mir unsicher, Dankeschön für die Antwort.
Wäre nett wenn dann auch noch jemand über meine Idee für für (ii) gucken könnte:
Ich habe
[mm] f(x)=\begin{cases} 2x, & \mbox{für } x \mbox{ >= 0} \\ \wurzel(x), & \mbox{für } x \mbox{ < 0 } \end{cases}
[/mm]
und
[mm] g(x)=\begin{cases} \bruch{x}{2}, & \mbox{für } x \mbox{ >= 0} \\ x^2, & \mbox{für } x \mbox{ < 0 } \end{cases}
[/mm]
gesetzt.
Wenn ich mich nicht vertue sind diese Funktionen stetig, aber nicht differenzierbar, es gilt f(x)*g(x) = x [mm] \forall [/mm] x und f(0)=g(0)=0 macht keine Probleme, also Gegenbeispiel gefunden.
Was mich stutzig macht: Ich habe die Voraussetzung x [mm] \in [/mm] (-1,1) nicht benötigt...also ist wahrscheinlich (mindestens) ein Fehler drin ;)
Sieht da jemand was ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Mi 07.01.2009 | | Autor: | biic |
Macht so auch keinen Sinn...Für x >= 0 ist f(x)*g(x) [mm] =x^2 \not= [/mm] x....
Aber denke ich wenigstens in die richtige Richtung ?
Der Rest vom Blatt lief super, nur diese Aufgabe ärgert mich gerade ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Mi 07.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Aber denke ich wenigstens in die richtige Richtung ?
Müsstest mal deine Gedanken hier aufschreiben ...
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Mi 07.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Wenn ich mich nicht vertue sind diese Funktionen stetig,
> aber nicht differenzierbar, es gilt f(x)*g(x) = x [mm]\forall[/mm] x
> und f(0)=g(0)=0 macht keine Probleme, also Gegenbeispiel
> gefunden.
Wie du selbst bemerkt hast, stimmt obige Gleichung nur im Nullpunkt ... versuch bitte selbst noch etwas zu knobeln. Tip dazu: beschränk dich doch vorab erstmal auf [m][0,1)[/m]
> Was mich stutzig macht: Ich habe die Voraussetzung x [mm]\in[/mm]
> (-1,1) nicht benötigt...also ist wahrscheinlich
> (mindestens) ein Fehler drin ;)
Nein, das ist völlig egal. Damit man aber von Diffbarkeit sprechen kann, muss ein kleines Intrervall um die Null im Def.bereich enthalten sein.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Mi 07.01.2009 | | Autor: | biic |
mmmhh....meine versuche f(x)*g(x)=x zu erfüllen laufen immer wieder darauf hinaus, dass eine funktion [mm] x^n [/mm] und die andere dann [mm] \bruch{1}{x^{n-1}} [/mm] ist. dann hab ich aber das problem, die funktion mit dem bruch auch im nullpunkt stetig zu bekommen - was sie nach voraussetzung sein muss.
[mm] \Rightarrow [/mm] irgendetwas fällt mir nicht ein oder auf...aber was ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 Do 08.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Wie wärs mit
$ [mm] f(x)=\begin{cases} \wurzel{x}, & \mbox{für } x \mbox{ >= 0} \\ -\wurzel{-x}, & \mbox{für } x \mbox{ < 0 } \end{cases} [/mm] $
und
$ [mm] g(x)=\begin{cases} \wurzel{x}, & \mbox{für } x \mbox{ >= 0} \\ \wurzel{-x}, & \mbox{für } x \mbox{ < 0 } \end{cases} [/mm] $
?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Sa 10.01.2009 | | Autor: | biic |
so gehts natürlich...und wenn mans sieht wars auch mal wieder eigentlich gar nicht so schwer ;)
danke euch beiden.
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