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| Aufgabe | Seien a und b Elemente eines Körpers. Beweisen Sie mit Hilfe der Körperaxiome die Aussage:
-(a+b) = (-a) + (-b) |
Stimmt mein Beweis so???
-(a+b) = (-1)(a+b) = (-1)a + (-1)b = (-a) + (-b)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Mi 02.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien a und b Elemente eines Körpers. Beweisen Sie mit
> Hilfe der Körperaxiome die Aussage:
> -(a+b) = (-a) + (-b)
> Stimmt mein Beweis so???
>
> -(a+b) = (-1)(a+b) = (-1)a + (-1)b = (-a) + (-b)
wichtig dabei:
[mm] $$1=1_K$$
[/mm]
ist das neutrale Element bzgl. der Multiplikation im Körper [mm] $K\,.$ [/mm] (Und [mm] $-1_K$ [/mm] ist das Inverse von [mm] $1_K$ [/mm] bzgl. der Addition.)
Habt ihr denn bewiesen, dass
[mm] $$-r=(-1_K)*r$$
[/mm]
für alle $r [mm] \in [/mm] K$ gilt? Denn das brauchst Du ja bei obigem Beweis.
Und um [mm] $-r=(-1_K)*r$ [/mm] einzusehen:
[mm] $$r+(-1_K)*r=1_K*r+(-1_K)*r=(1_K+(-1_K))*r=0_K*r=0_K\,,$$
[/mm]
d.h. die letzte Gleichheit in dieser Rechnung muss auch schon bekannt sein, sowie, dass das add. Inverse im Körper eindeutig bestimmt ist.
Also mit diesem Vorwissen, und wenn Deine Rechnung nur im Körper [mm] $K\,$ [/mm] abläuft und Du dann dort die Distributitvität nutzt, dann wäre das okay.
Ich würde daher den Beweis einfacher aufziehen:
Wie gerade erwähnt (und das habt ihr hoffentlich bewiesen), ist das additiv Inverse (=additiv Rechts- und auch additiv Linksinverses) in einem Körper eindeutig.
Per Definitionem ist [mm] $-(a+b)\,$ [/mm] das additiv Inverse zu $(a+b) [mm] \in K\,.$ [/mm] Jetzt rechne einfach nach, dass auch
[mm] $$-a-b+(a+b)=0_K$$
[/mm]
gilt.
P.S.
Aus Gründen, die Dir später vielleicht klarer werden, würde ich hier sogar schon vorschlagen
$$-(a+b)=-b+(-a)=-b-a$$
zu schreiben...
Macht natürlich im Körper keinen Unterschied...
P.P.S.
Hier eigentlich nicht notwendig (aus gewissen Gründen), aber Du kannst natürlich auch zusätzlich nachrechnen (oder kurz begründen), dass zudem auch
[mm] $$(a+b)+(-a-b)=0_K$$
[/mm]
gilt.
Gruß,
Marcel
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