Beweis mit Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Physy |
| Aufgabe | | Zeige: Ist 2m+1 für m [mm] \in \IN [/mm] eine Primzahl, dann ist m von der Form m = [mm] 2^k [/mm] mit k [mm] \in \IN. [/mm] |
Ich sitze schon seit Stunden vor dieser Aufgabe, habe aber noch keinen Lösungsansatz ... Hat jemand einen Hinweis für mich?
Danke im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Mi 20.04.2011 | | Autor: | wieschoo |
3=2*1+1 (m=1)
damit ist m nie und nimmer 2k für [mm] $k\in \IN$
[/mm]
falsch gelesen sorry.
[edit] ne doch nicht. Das Gegenbeispiel stimmt.
3=2*1+1 (m=1)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Physy |
für m=1 müsste k=0 sein, was aber nicht vorausgesetzt wird...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:19 Mi 20.04.2011 | | Autor: | wieschoo |
m=1=2k und dann k=0 ??
Kann sein, dass ich etwas übersehe.
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Hallo Physy,
> Zeige: Ist 2m+1 für m [mm]\in \IN[/mm] eine Primzahl, dann ist m
> von der Form m = 2k mit k [mm]\in \IN.[/mm]
> Ich sitze schon seit
> Stunden vor dieser Aufgabe, habe aber noch keinen
> Lösungsansatz ... Hat jemand einen Hinweis für mich?
Die Aussage stimmt doch so nicht!
Nimm mal [mm]m=3[/mm], dann ist [mm]2m+1=7[/mm] prim, aber [mm]3[/mm] ist ungerade, also nicht darstellbar als [mm]2k[/mm] mit [mm]k\in\IN[/mm]
Ich vermute du meinst:
[mm]2^m+1[/mm] prim, dann [mm]m=2^k[/mm] (also Zweierpotenz) mit [mm]k\in\IN[/mm]
Wenn ich recht mit meiner Vermutung habe, schaue unter Fermatsche Primzahlen nach.
Die Beweisidee ist folgende:
Nimm an, [mm]m[/mm] ist keine Zweierpotenz, dann kannst du [mm]m[/mm] schreiben als [mm]m=2^\ell\cdot{}u[/mm] mit [mm]u\ge 3[/mm] und ungerade.
Dann aber kannst du [mm]2^m+1=\left(2^{2^{\ell}}\right)^{u}+1[/mm] zerlegen in ein nicht triviales Produkt ...
Damit wäre [mm] $2^m+1$ [/mm] nicht prim im Widerspruch zur Voraussetzung, also muss [mm] $m=2^k$ [/mm] sein.
Finde noch die Zerlegung ...
>
> Danke im Voraus
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:26 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Physy |
Vielen Dank. Ich habe mich verschrieben - tut mir leid. Ich habe die Frage korrigiert
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank. Ich habe mich verschrieben - tut mir leid.
Kann passieren, kein Problem
> Ich habe die Frage korrigiert
Aber nicht vollständig, es ist immer noch eine falsche Aussage (selbes Gegenbsp. wie oben ...)
Editiere das bitte nochmal!
Gruß
schachuzipus
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Hallo Physy,
so (=1. Revision) stimmt die Aufgabe auch noch nicht. Ich vermute auch, dass schachuzipus mit seiner Aufgabenkorrektur recht hat.
Dann findest Du hier eine einfache, etwas allgemeinere Lösung.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Physy |
Wie funktioniert die dort beschriebene Polynomdivision für ungerade m?
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Moin,
> Wie funktioniert die dort beschriebene Polynomdivision für
> ungerade m?
Für m ungerade gilt:
[mm] \frac{a^m+1}{a+1}=a^{m-1}-a^{m-2}+\ldots-a+1.
[/mm]
Einfach mal nachrechnen!
In deinem Fall ist a=2
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Physy |
Tut mir leid, dass ich so oft nachhake aber ich verstehe nicht, wie du auf diese zerlegung gekommen bist ...
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Hallo nochmal,
> Tut mir leid, dass ich so oft nachhake aber ich verstehe
> nicht, wie du auf diese zerlegung gekommen bist ...
Na, durch Polynomdivision.
Grüße
reverend
PS: Rechne doch mal [mm] (x^{9}+1):(x^3+1), [/mm] das dauert nicht lange.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Physy |
Ja, aber wenn ich für a=2 einsetze steht da doch [mm] (2^m+1):(3). [/mm] Wie soll das da funktionieren, ohne dass ich einen Bruch herausbekomme.
Außerdem sagt doch die allgemeine Lösung von euch nichts direkt über ungerade zahlen aus, sondern macht eine Aussage für alle [mm] m\in\IN [/mm] ... Da fließt doch gar nicht mit ein, dass m ungerade bzw. m=2k+1 ist. Demnach würde das doch bedeuten, dass [mm] 2^m+1 [/mm] für alle m durch (a+1) teilbar ist...
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Hallo nochmal,
> Ja, aber wenn ich für a=2 einsetze steht da doch
> [mm](2^m+1):(3).[/mm] Wie soll das da funktionieren, ohne dass ich
> einen Bruch herausbekomme.
Na, für ungerade m kommt da aber kein Bruch heraus. Für m=1 ist das Ergebnis 1, für m=3 ist es 3, für m=5 ist es 11, für m=7 dann 43...
> Außerdem sagt doch die allgemeine Lösung von euch nichts
> direkt über ungerade zahlen aus, sondern macht eine
> Aussage für alle [mm]m\in\IN[/mm] ... Da fließt doch gar nicht mit
> ein, dass m ungerade bzw. m=2k+1 ist.
Doch, die Division funktioniert nur für ungerade m.
> Demnach würde das
> doch bedeuten, dass [mm]2^m+1[/mm] für alle m durch (a+1) teilbar
> ist...
Das ist es aber nicht. Für gerade m nämlich nie.
Denk nochmal drüber nach.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Physy |
Vielen Dank. Jetzt habe ich es endlich verstanden :)
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