Beweis mit Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Fr 10.10.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass für alle positiven reellen Zahlen x und h mit [mm] h < 8x [/mm] die Ungleichungen
[mm] \wurzel{x}+\bruch{h}{2\wurzel{x}}-\bruch{h^2}{8x\wurzel{x}} < \wurzel{x+h} < \wurzel{x}+\bruch{h}{2\wurzel{x}} [/mm]
gelten. |
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Hallo,
wenn ich jeden Teil auf einem Bruchstrich zusammenfasse und anschliessend mit [mm] 8x\wurzel{x} [/mm] multipliziere (darf ich das so einfach ?) , erhalte ich folgende Ungleichung:
[mm] 8x^2+4xh-h^2 < 8x\wurzel{x}\wurzel{x+h} < 8x^2+4xh [/mm]
Dass das Linke kleiner als das Rechte ist, erkennt man sofort, da links noch [mm] h^2 [/mm] abgezogen wird.
Wenn ich das Linke mit dem Mittleren vergleiche, erhalte ich durch Ausklammern
[mm] h(32x+h^2) < 8x(4x^2+h^2) [/mm]
Wie mache ich bei einem Beweis jetzt weiter ?
Kann ich sagen, da [mm] h<8x [/mm] gilt, muss [mm] (32x+h^2) \le (4x^2+h^2) [/mm] sein ?
Danke, Susanne.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Fr 10.10.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Robert,
vielen Dank für deine schnelle Hilfe !
Leider kenne ich den Mittelwertsatz noch nicht, deshalb kann ich damit auch noch nicht argumentieren.
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Fr 10.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Susanne!
Dann probiere es durch Quadrieren: da x und h positive reelle Zahlen sind, reicht es zu zeigen, dass
[mm] \wurzel{x+h}^2 < \left(\wurzel{x}+\bruch{h}{2\wurzel{x}}\right)^2 [/mm]
und das Analoge für die linke Hälfte gilt.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Fr 10.10.2008 | | Autor: | SusanneK |
Ah, super Idee !
VIELEN VIELEN DANK Rainer !
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