Beweis mit Zwischenwertsatz < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Beweisen sie:
Ist [mm] f[0,1]\to[0,1] [/mm] stetig dann [mm] \exists x\in[0,1] [/mm] mit f(x)=x. |
Soweit so gut ^^
ICh habe mir überklegt, dass nach dem Zwischenwertsatz gilt:
[mm] \forall x\in[0,1]\exists f(x)\in[0,1] [/mm] und [mm] \forall f(x)\in[0,1]\exists x\in[0,1]
[/mm]
Und wenn man sich das graphisch vorstellt ist der Sachverhalt auch klar ... aber wie beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Fr 20.04.2007 | | Autor: | alex42 |
Hi Zerwas,
also ich würde an die Aufgabe so rangehen:
Ersteinmal eine Fallunterscheidung:
1. Fall: f(0)=0 [mm] $\vee$ [/mm] f(1)=1 -> fertig
2. Fall: f(0)>0 [mm] $\wedge$ [/mm] f(1)<1
Es gilt: f(x)=x [mm] $\gdw$ [/mm] f(x)-x=0,
Betrachte also die Funktion g(x):= f(x)-x und argumentiere mit dem Zwischenwertsatz, dass diese Funktion eine Nullstelle hat.
Und dann natürlich alles formal aufschreiben :)
Gruß Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Sa 21.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
D.h. also dass ich für den Fall f(0)>0 und f(1)<1 das dann so mache:
Wenn gilt f(x)=x dann folgt f(x)-x=0. Sei g(x)=f(x)-x.
g(x) ist nach Def auf [0,1] stetig.
g(0)>0 und g(1)>0 => nach dem Zwischenwertsatz, dass [mm] \exists x_0 [/mm] für dass gilt [mm] g(x_0)=0 [/mm] und damit [mm] f(x_0)=x_0.
[/mm]
Korrekt?
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Hallo!
> D.h. also dass ich für den Fall f(0)>0 und f(1)<1 das dann
> so mache:
>
> Wenn gilt f(x)=x dann folgt f(x)-x=0. Sei g(x)=f(x)-x.
> g(x) ist nach Def
als Differenz stetiger Funktionen
>auf [0,1] stetig.
> g(0)>0 und g(1)>0 => nach dem Zwischenwertsatz, dass
> [mm]\exists x_0[/mm] für dass gilt [mm]g(x_0)=0[/mm] und damit [mm]f(x_0)=x_0.[/mm]
>
> Korrekt?
Nein. Wie geht denn der ZWS?
Vielleicht ist es aber nur ein Tippfehler:
> g(0)>0 und g(1)>0
stimmt nicht!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 So 22.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
okay das war ein tippfehler
es muss heißen:
g(0)>0 und g(1)<0
und dann [mm] \exists [/mm] nach dem Zwischenwertsatz zu jedem [mm] y\in[0,1] [/mm] ein f(x)=y.
und da, g stetig ist [mm] \exists [/mm] f(x)=0. ... dann weiter wie gehabt.
Passt es so?
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> okay das war ein tippfehler
> es muss heißen:
> g(0)>0 und g(1)<0
Achso.
>
> und dann [mm]\exists[/mm] nach dem Zwischenwertsatz zu jedem
> [mm]y\in[0,1][/mm] ein f(x)=y.
> und da, g stetig ist [mm]\exists[/mm] f(x)=0. ... dann weiter wie
> gehabt.
>
> Passt es so?
Nee, ich glaube jetzt bist Du wirr.
Du hast die Stetigkeit von g auf dem fraglichen Intervall und daß g(0)>0 und g(1)<0.
Der ZWS sagt: es gibt ein [mm] x_0 [/mm] mit [mm] g(x_0)=0.
[/mm]
Und nun machst Du weiter mit der Def. von g. Was ist [mm] g(x_0)?
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 So 22.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
Eigentlich wollte ich das mit "dann weiter wie gehabt" implizieren war nur zu faul zum schreiben ^^
dann sage ich [mm] \exists x_0 [/mm] mit [mm] g(x_0)=0 [/mm] => [mm] g(x_0)=f(x_0)-x_0 [/mm] => [mm] \exists f(x_0)=x_0
[/mm]
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> dann sage ich [mm]\exists x_0[/mm] mit [mm]g(x_0)=0[/mm] =>
> [mm]g(x_0)=f(x_0)-x_0[/mm] => [mm]\exists f(x_0)=x_0[/mm]
Genau.
Gruß v. Angela
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