Beweis mit einer Identität < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Lord_Exo |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe der Identität (axb)*(cxd) = (a*c)(b*d)-(a*d)(b*c), dass der Betrag des Vektorprodukts zweier Verktoren |axb| der Fläche des durch a und b aufgespannten Parallelogramms entspricht.
(Hinweis: a*a=|a|*|a| cos 0 =a² und cos² a + sin² a =1) |
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Beschäfige mich jetzt schon seit einiger Zeit mit diesem Problem, bin allerdings noch nicht auf einen vernümpftigen Ansatz gekommen. Vielleciht könnt ihr mir ein paar Tipps zur Lösung dieser Aufgabe geben.
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Zeigen Sie mit Hilfe der Identität (axb)*(cxd) =
> (a*c)(b*d)-(a*d)(b*c),
rechne das mal für c=a, b=d, d.h. (axb)*(axb)=...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 So 28.10.2007 | | Autor: | Lord_Exo |
hab jetzt länger rumprobiert und komme weiterhin nciht auf die Lösung.
So bin soweit:
|axb| soll ja glecih der Fläche sein und die ist durch A=|a||b|*sin a geben. Also |axb|=|a||b|*sin a soweit so gut.
so dann hab ich noch die Identität
(axb)(axb)=(a*a)(b*b)-(ab)(ab)
(a x b)² = |a|²|b|²cos²(a,b)-|a|²|b|²cos²(a,b)
(a x b)²=0
Das würde doch heissen das a und b parallel wären?
klär mich auf was mach ich falsch :)
weitere Hilfe wäre nett.
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 So 28.10.2007 | | Autor: | Ideo21 |
Ne, es müsste eher so aussehen...
[mm] (a\times b)(a\times b)=(a\circ a)(b\circ b)-(a\circ b)(a\circ [/mm] b)
[mm] |a\times b|²=a²b²-(a\circ b)(a\circ [/mm] b)
da [mm] a\circ a\circa=|a|²=a²
[/mm]
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also, ich hab die gleiche aufgabe zu lösen. wie kommt ihr bitte darauf, einfach c=a und d=b zu setzen? außerdem soll man die identität sowie die hinweise beachten: wenn schon solche hinweise gegeben werden, dann muss man wohl auch irgendwie damit rechnen, also mit sin² und con². außerdem müsste es doch, wenn überhaupt, so heißen:
(axb)²= [mm] (a\times b)(a\times b)=(a\circ a)(b\circ b)-(a\circ b)(a\circ [/mm] d)
außerdem sollte doch alles auf den beweis hinauslaufen, dass A=g*h = |axb| ist. muss man dann A = g*h dann nich irgendwie mit hilfe dieser identität ausdrücken?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Im Parallelogramm gilt ja [mm] \vec{a}=\vec{c} [/mm] und [mm] \vec{b}=\vec{d}.
[/mm]
Deshalb also:
(axb)*(axb) = (a*a)(b*b)-(a*b)(b*a)
|axb|=|a|²*|b|²-(a*b)²
a*b=|a|*|b|*cos(a,b)
|axb|=|a|²*|b|²-(|a|*|b|*cos(a,b))²=|a|²*|b|²-|a|²*|b|²*cos²(a,b)=...
(ausklammern, cos² ersetzen)
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ok, habs soweit, dass ich die gleichung auf [mm] sin²\alpha [/mm] = 1 - [mm] cos²\alpha [/mm] gebracht hab! richtig? und mit was soll ich jetzt cos² ersetzen? und wo bleibt der beweis, dass |axb| = flächeninhalt is?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Meinte ja cos²(a,b) durch 1-sin²(a,b) ersetzen :)
Ok, nun hast du
|axb|²=|a|²*|b|²*sin²(a,b)
Wurzel ziehen bringt:
|axb|=a*b*sin(a,b) und das ist genau eine Flächeninhaltsformel eines Parallelogramms mit den Seiten a und b.
(A=a*h, [mm] h=sin(\alpha)*b, A=a*b*sin(\alpha))
[/mm]
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hm, k, allet klar! so siehts gut aus :) danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem!
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