Beweis mit geo. Summenformel < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Do 10.11.2011 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit Hilfe der geometrischen Summenformel:
[mm] \summe_{i=0}^{n}(1-x^2)^{i} [/mm] = n+1 für x=0 |
hallo :)
habe nochmal eine frage:
für x [mm] \not= [/mm] 0 habe ich erfolgreich einen beweis geliefert mittels geometrischer summenformel. (ergebnis ist [mm] (1-(1-x^2)^{n+1})/(1-(1+x^2)) [/mm] )
ich hab nur irgendwie probleme das ganze mit x=0 durchzuführen.
habe mir gedacht wenn ich für x=0 in meine summe einsetze: [mm] \summe_{i=0}^{n}(1-0^2)^{i}= (1-(1-0)^{n+1})/(1-(1+0)) [/mm] = 0 weil ja der nenner 0 wird :( aber doch nicht n+1
wolframalpha bestätigt mir allerdings (ohne rechenschritte) dass n+1 richtig sein muss. ich komme irgendwie nicht dahinter was ich falsch mache :(
habt ihr vielleicht einen tipp für mich :) ?
liebe grüße, eure meely :D
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo meely,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Beweisen Sie mit Hilfe der geometrischen Summenformel:
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> [mm]\summe_{i=0}^{n}(1-x^2)^{i}[/mm] = n+1 für x=0
Eigenartige Aufgabe... ich sehe das nicht gerade als gutes Beispiel für die geometrische Summe an.
> hallo :)
>
> habe nochmal eine frage:
>
> für x [mm]\not=[/mm] 0 habe ich erfolgreich einen beweis geliefert
> mittels geometrischer summenformel. (ergebnis ist
> [mm](1-(1-x^2)^{n+1})/(1-(1+x^2))[/mm] )
>
> ich hab nur irgendwie probleme das ganze mit x=0
> durchzuführen.
Es gilt [mm] \sum_{i=0}^n z^i=\frac{1-z^{n+1}}{1-z} [/mm] nur wenn [mm] z\neq1.
[/mm]
>
> habe mir gedacht wenn ich für x=0 in meine summe einsetze:
> [mm]\summe_{i=0}^{n}(1-0^2)^{i}= (1-(1-0)^{n+1})/(1-(1+0))[/mm] = 0 weil ja der nenner 0 wird :( aber doch nicht n+1
Ja, das ist Unsinn.
>
> wolframalpha bestätigt mir allerdings (ohne
> rechenschritte) dass n+1 richtig sein muss. ich komme
> irgendwie nicht dahinter was ich falsch mache :(
>
> habt ihr vielleicht einen tipp für mich :) ?
> liebe grüße, eure meely :D
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Do 10.11.2011 | | Autor: | meely |
> Es gilt [mm]\sum_{i=0}^n z^i=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}[/mm] nur wenn
> [mm]z\neq1.[/mm]
die geometrische summenformel kenne ich :) sonst wäre ich auch nicht auf ein ergebnis für x [mm] \not= [/mm] 0 gekommen.
> >
> > habe mir gedacht wenn ich für x=0 in meine summe einsetze:
> > [mm]\summe_{i=0}^{n}(1-0^2)^{i}= (1-(1-0)^{n+1})/(1-(1+0))[/mm] = 0
> weil ja der nenner 0 wird :( aber doch nicht n+1
> Ja, das ist Unsinn.
ist mir bewusst, dass es unsinn ist. ^^ aber ich habe keine ahnung wie ich auf n+1 komme - meine frage
meely
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Hallo meely,
für [mm]x=0[/mm] hast du doch [mm]\sum\limits_{i=0}^n\left(1-0^2\right)^{i}=\sum\limits_{i=0}^{n}1^{i}=\sum\limits_{i=0}^{n}1=\underbrace{1+1+1+1+\ldots +1}_{\text{wie oft??}}[/mm]
Wie viele Summanden hast du von [mm]i=0[/mm] bis [mm]i=n[/mm] ?
Na, genau [mm]n+1[/mm] Stück, also wird $(n+1)$-mal die 1 aufsummiert, das gibt [mm] $(n+1)\cdot{}1=n+1$
[/mm]
Voilà!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Do 10.11.2011 | | Autor: | meely |
danke :) habe genau das gerade als frage an angela gepostet :)
noch einfacher zum überlegen denke ich ist eine indexverschiebung damit ich bei i=1 starte und mit n+1 ende :)
siehe - neue frage
viele dank :D
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> Beweisen Sie mit Hilfe der geometrischen Summenformel:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n}(1-x^2)^{i}[/mm] = n+1 für x=0
Hallo,
weil die Formel für x=0 nicht gilt, kannst Du die Teilaussage, die Dir Sorgen macht, damit nicht beweisen.
>
> ich hab nur irgendwie probleme das ganze mit x=0
> durchzuführen.
>
> habe mir gedacht wenn ich für x=0 in meine summe einsetze:
> [mm] \summe_{i=0}^{n}(1-0^2)^{i}
[/mm]
Dann hast Du dastehen: [mm] \summe_{i=0}^{n}(1-0^2)^{i}=\summe_{i=0}^{n}1^{i}, [/mm] und Du solltest nun mal drüber nachdenken, was das bedeutet...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Do 10.11.2011 | | Autor: | kamaleonti |
gelöscht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Do 10.11.2011 | | Autor: | meely |
>
> > Beweisen Sie mit Hilfe der geometrischen Summenformel:
> >
> > [mm]\summe_{i=0}^{n}(1-x^2)^{i}[/mm] = n+1 für x=0
>
> Hallo,
>
> weil die Formel für x=0 nicht gilt, kannst Du die
> Teilaussage, die Dir Sorgen macht, damit nicht beweisen.
sprich ich kann mittels der geometrischen summenformel dieses beispiel gar nicht lösen :) ?
> >
> > ich hab nur irgendwie probleme das ganze mit x=0
> > durchzuführen.
> >
> > habe mir gedacht wenn ich für x=0 in meine summe einsetze:
> > [mm]\summe_{i=0}^{n}(1-0^2)^{i}[/mm]
>
> Dann hast Du dastehen:
> [mm]\summe_{i=0}^{n}(1-0^2)^{i}=\summe_{i=0}^{n}1^{i},[/mm] und Du
> solltest nun mal drüber nachdenken, was das bedeutet...
ah ! ich glaub ich habe verstanden was du meinst :)
dadurch dass ich 1 n mal miteinander addiere (begonnen mit i=0) und für [mm] 1^0=1 [/mm] folgt dann dass ich n+1 mal addiere da [mm] 1^0=1. [/mm] oder einfacher: indexverschiebung damit ich mit i=1 starte (n-->n+1) :)
richtig ?
Liebe grüße meely
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oder einfacher: indexverschiebung damit ich mit i=1
> starte (n-->n+1) :)
>
> richtig ?
>
> Liebe grüße meely
>
würde schon sagen dass das mit der indexverschiebung richtig ist ;)
LG scherzkrapferl
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Hallo nochmal,
> >
> > > Beweisen Sie mit Hilfe der geometrischen Summenformel:
> > >
> > > [mm]\summe_{i=0}^{n}(1-x^2)^{i}[/mm] = n+1 für x=0
> >
> > Hallo,
> >
> > weil die Formel für x=0 nicht gilt, kannst Du die
> > Teilaussage, die Dir Sorgen macht, damit nicht beweisen.
>
> sprich ich kann mittels der geometrischen summenformel
> dieses beispiel gar nicht lösen :) ?
Nein, denn die Formel [mm]\sum\limits_{i=0}^nq^{i}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] gilt nur für [mm]q\neq 1[/mm]
Bei dir ist [mm]q=1-x^2[/mm] und das ist für [mm]x=0[/mm] dummerweise genau 1.
Da greift die Formel also nicht.
>
> > >
> > > ich hab nur irgendwie probleme das ganze mit x=0
> > > durchzuführen.
> > >
> > > habe mir gedacht wenn ich für x=0 in meine summe einsetze:
> > > [mm]\summe_{i=0}^{n}(1-0^2)^{i}[/mm]
> >
> > Dann hast Du dastehen:
> > [mm]\summe_{i=0}^{n}(1-0^2)^{i}=\summe_{i=0}^{n}1^{i},[/mm] und Du
> > solltest nun mal drüber nachdenken, was das bedeutet...
>
> ah ! ich glaub ich habe verstanden was du meinst :)
> dadurch dass ich 1 n mal miteinander addiere (begonnen mit
> i=0)
Nein, von [mm]i=0[/mm] bis [mm]i=n[/mm] sind es [mm]n+1[/mm] Summanden!
Bsp. [mm]n=5[/mm]
[mm]i[/mm] läuft von 0 bis 5, also hast du Summanden für
[mm]i=0, i=1, i=2, i=3, i=4, i=5[/mm] - das sind 6 Stück ...
> und für [mm]1^0=1[/mm] folgt dann dass ich n+1 mal addiere da
> [mm]1^0=1.[/mm] oder einfacher: indexverschiebung damit ich mit i=1
> starte (n-->n+1) :)
Jo, kannst du machen, wenn es dir einfacher erscheint.
>
> richtig ?
So 3/4 ..
Kontrollfrage: Wieviele Summanden hat die Summe [mm]\sum\limits_{k=0}^{n+3}k^2[/mm]
Und wieviele hat [mm]\sum\limits_{k=1}^{n^2-1}k^3[/mm] ?
Ich will keine Formel oder den Wert der Summen, lediglich die Anzahl der Summanden ...
> Liebe grüße meely
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 Do 10.11.2011 | | Autor: | meely |
> Hallo nochmal,
>
>
> > >
> > > > Beweisen Sie mit Hilfe der geometrischen Summenformel:
> > > >
> > > > [mm]\summe_{i=0}^{n}(1-x^2)^{i}[/mm] = n+1 für x=0
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > weil die Formel für x=0 nicht gilt, kannst Du die
> > > Teilaussage, die Dir Sorgen macht, damit nicht beweisen.
> >
> > sprich ich kann mittels der geometrischen summenformel
> > dieses beispiel gar nicht lösen :) ?
>
> Nein, denn die Formel
> [mm]\sum\limits_{i=0}^nq^{i}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] gilt nur
> für [mm]q\neq 1[/mm]
>
> Bei dir ist [mm]q=1-x^2[/mm] und das ist für [mm]x=0[/mm] dummerweise genau
> 1.
>
> Da greift die Formel also nicht.
>
ok danke habs verstanden :)
> >
> > > >
> > > > ich hab nur irgendwie probleme das ganze mit x=0
> > > > durchzuführen.
> > > >
> > > > habe mir gedacht wenn ich für x=0 in meine summe einsetze:
> > > > [mm]\summe_{i=0}^{n}(1-0^2)^{i}[/mm]
> > >
> > > Dann hast Du dastehen:
> > > [mm]\summe_{i=0}^{n}(1-0^2)^{i}=\summe_{i=0}^{n}1^{i},[/mm] und Du
> > > solltest nun mal drüber nachdenken, was das bedeutet...
> >
> > ah ! ich glaub ich habe verstanden was du meinst :)
> > dadurch dass ich 1 n mal miteinander addiere (begonnen
> mit
> > i=0)
>
> Nein, von [mm]i=0[/mm] bis [mm]i=n[/mm] sind es [mm]n+1[/mm] Summanden!
meinte eigentlich bei i=1 und dann muss man ja i=0 noch dazu geben. (siehe bisschen weiter unten)
>
> Bsp. [mm]n=5[/mm]
>
> [mm]i[/mm] läuft von 0 bis 5, also hast du Summanden für
>
> [mm]i=0, i=1, i=2, i=3, i=4, i=5[/mm] - das sind 6 Stück ...
>
> > und für [mm]1^0=1[/mm] folgt dann dass ich n+1 mal addiere da
> > [mm]1^0=1.[/mm] oder einfacher: indexverschiebung damit ich mit i=1
> > starte (n-->n+1) :)
>
> Jo, kannst du machen, wenn es dir einfacher erscheint.
>
> >
> > richtig ?
>
>
> So 3/4 ..
>
>
> Kontrollfrage: Wieviele Summanden hat die Summe
> [mm]\sum\limits_{k=0}^{n+3}k^2[/mm]
n+4 ?!
>
> Und wieviele hat [mm]\sum\limits_{k=1}^{n^2-1}k^3[/mm] ?
>
bin mir nicht ganz sicher aber ich glaube [mm] (n^2)-1 [/mm] :)
> Ich will keine Formel oder den Wert der Summen, lediglich
> die Anzahl der Summanden ...
>
> > Liebe grüße meely
> >
>
> Gruß
>
> schachuzipus
danke für die ausführlichen erklärungen und beispiele :) find das total genial und lieb :)
grüße meely
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:40 Fr 11.11.2011 | | Autor: | meely |
der einzige mensch der hier zu danken hat bin ich :D
also - DANKE :D
Liebe Grüße eure meely
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