Beweis mit ggT und ZPE Ringen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien [mm] \alpha, \beta [/mm] in [mm] O_k. [/mm] ggT [mm] (\N \alpha, \N \beta) [/mm] = 1 in [mm] \IZ. [/mm] Dann ist ggT [mm] (\alpha, \beta) [/mm] ähnlich zu 1 in [mm] O_k, [/mm] selbst dann, wenn [mm] O_k [/mm] kein ZPE Ring ist. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/euklidischer-Algorithmus-38
Meine Frage ist, ob die Lösung die ich im oben angegebenen Link gepostet habe so schlüssig ist. Brauche sie für einen Vortrag...
Grüße und Danke das Integrälchen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Mi 17.04.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Integrälchen!
> Seien [mm]\alpha, \beta[/mm] in [mm]O_k.[/mm] ggT [mm](N \alpha, N \beta)[/mm] = 1
> in [mm]\IZ.[/mm] Dann ist ggT [mm](\alpha, \beta)[/mm] ähnlich zu 1 in [mm]O_k,[/mm]
> selbst dann, wenn [mm]O_k[/mm] kein ZPE Ring ist.
Wie man dem anderen Thread entnehmen kann, geht es um den Ganzheitsring des (quadratischen) algebraischen Zahlkoerpers $k$. Und $N$ ist die Norm-Funktion. (Wenn du \N schreibst, wird es nicht angezeigt.)
Erstmal musst du zeigen, dass es in [mm] $O_k$ [/mm] ueberhaupt einen ggT gibt. Welcher hier in Frage kommt ist $1$ (bzw. alles was dazu assoziiert ist -- also jede Einheit). Du musst also zeigen:
a) 1 teilt sowohl [mm] $\alpha$ [/mm] wie auch [mm] $\beta$ [/mm] in [mm] $O_k$;
[/mm]
b) wenn [mm] $\gamma \in O_k$ [/mm] ein Teiler von [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] ist, dann ist [mm] $\gamma$ [/mm] auch ein Teiler von 1.
Teil a) sollte klar sein. Bei b) schau dir doch mal [mm] $N(\gamma)$ [/mm] an. Was gilt bzgl. [mm] $N(\alpha)$ [/mm] und [mm] $N(\beta)$? [/mm] Damit bist du sehr schnell fertig...
LG Felix
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| Aufgabe | > Seien [mm]\alpha, \beta[/mm] in [mm]O_k.[/mm] ggT [mm](N \alpha, N \beta)[/mm] = 1
> in [mm]\IZ.[/mm] Dann ist ggT [mm](\alpha, \beta)[/mm] ähnlich zu 1 in [mm]O_k,[/mm]
> selbst dann, wenn [mm]O_k[/mm] kein ZPE Ring ist. |
Wie genau funktioniert das bei deinem Lösungsvorschlag Teil b?
b) wenn [mm] $\gamma \in O_k$ [/mm] ein Teiler von [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] ist, dann ist [mm] $\gamma$ [/mm] auch ein Teiler von 1
Wenn ich die Norm anwende, weiß ist dass [mm] $N\gamma [/mm] | [mm] N\alpha$ [/mm] und [mm] $N\gamma [/mm] | [mm] N\beta$. [/mm] Ich möchte nun zunächst zeigen, dass die [mm] $N\gamma [/mm] | 1$ in [mm] \IZ.
[/mm]
Weiter habe ich noch die Information, dass ggT [mm](N \alpha, N \beta)[/mm] = 1. Davon die Norm ist also auch 1. Aber irgendwie bekomme ich da noch keine Logik rein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Mo 03.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Seien [mm]\alpha, \beta[/mm] in [mm]O_k.[/mm] ggT [mm](N \alpha, N \beta)[/mm] = 1
> > in [mm]\IZ.[/mm] Dann ist ggT [mm](\alpha, \beta)[/mm] ähnlich zu 1 in
> [mm]O_k,[/mm]
> > selbst dann, wenn [mm]O_k[/mm] kein ZPE Ring ist.
> Wie genau funktioniert das bei deinem Lösungsvorschlag
> Teil b?
> b) wenn [mm]\gamma \in O_k[/mm] ein Teiler von [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm]
> ist, dann ist [mm]\gamma[/mm] auch ein Teiler von 1
>
> Wenn ich die Norm anwende, weiß ist dass [mm]N\gamma | N\alpha[/mm]
> und [mm]N\gamma | N\beta[/mm]. Ich möchte nun zunächst zeigen,
> dass die [mm]N\gamma | 1[/mm] in [mm]\IZ.[/mm]
Na, du hast Zahlen $a := [mm] N\alpha$, [/mm] $b := [mm] N\beta$ [/mm] und $c := [mm] N\gamma$ [/mm] in [mm] $\IZ$ [/mm] mit $c [mm] \mid [/mm] a$, $c [mm] \mid [/mm] b$. Dann ist doch $c$ auch ein Teiler von $ggT(a, b)$.
> Weiter habe ich noch die Information, dass ggT [mm](N \alpha, N \beta)[/mm]
> = 1. Davon die Norm ist also auch 1. Aber irgendwie bekomme
> ich da noch keine Logik rein.
LG Felix
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| Aufgabe | | $ a := [mm] N\alpha [/mm] $, $ b := [mm] N\beta [/mm] $ und $ c := [mm] N\gamma [/mm] $ in $ [mm] \IZ [/mm] $ mit $ c [mm] \mid [/mm] a $, $ c [mm] \mid [/mm] b $. Dann ist doch $ c $ auch ein Teiler von $ ggT(a, b) $. |
Erstmal Danke für den Tipp 
Da c ein Teiler vom ggt(a,b)= 1 ist teilt c die 1 und ist deswegen eine Einheit, also [mm] $\pm [/mm] 1 $.
Kann ich nun einfach weil die $N [mm] \gamma \in \{\pm 1\}$ [/mm] ist sagen, dass [mm] $\gamma \in \{\pm 1\}$ [/mm] ist und damit [mm] $\gamma$ [/mm] teilt 1 ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Mi 05.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]a := N\alpha [/mm], [mm]b := N\beta[/mm] und [mm]c := N\gamma[/mm] in [mm]\IZ[/mm] mit [mm]c \mid a [/mm],
> [mm]c \mid b [/mm]. Dann ist doch [mm]c[/mm] auch ein Teiler von [mm]ggT(a, b) [/mm].
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> Erstmal Danke für den Tipp
> Da c ein Teiler vom ggt(a,b)= 1 ist teilt c die 1 und ist
> deswegen eine Einheit, also [mm]\pm 1 [/mm].
Genau.
> Kann ich nun einfach weil die [mm]N \gamma \in \{\pm 1\}[/mm] ist
> sagen, dass [mm]\gamma \in \{\pm 1\}[/mm] ist und damit [mm]\gamma[/mm] teilt
> 1 ?
Nein, es kann sein dass [mm] $\gamma$ [/mm] etwas anderes als [mm] $\pm [/mm] 1$ ist. Es ist aber auf jeden Fall eine Einheit - und somit ein Teiler von 1.
Hattet ihr so einen Satz in der Vorlesung, der die Einheiten mit Hilfe der Norm charakterisiert?
LG Felix
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