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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Mo 20.10.2008 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Es sei
[mm] a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n \equiv [/mm] b mod 1
mit
[mm] x_1\ge0,...,x_n\ge0
[/mm]
Für i=1,...,n setzen wir
[mm] f_i \equiv a_i [/mm] mod 1 mit 0 [mm] \le f_i [/mm] < 1
und außerdem sei
[mm] f_0 \equiv [/mm] b mod 1 mit 0 [mm] \le f_0 [/mm] < 1.
Beweisen Sie, dass für ganzzahlige [mm] x_1,...,x_n [/mm] gilt:
a) [mm] f_1x_1+f_2x_2+...+f_nx_n \equiv f_0 [/mm] mod 1
b) [mm] f_1x_1+f_2x_2+...+f_nx_n \ge f_0 [/mm] |
Hallo,
Hat jemand zu b) eine Idee? Bin für jeden Tipp dankbar!
Gruß DerGraf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Zorba |
Naja du kannst ja a) verwenden:
Also musst du nur zeigen, dass [mm] f_{0} [/mm] mod 1 [mm] \ge f_{0}
[/mm]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:06 Mo 20.10.2008 | | Autor: | DerGraf |
Nach Wikipedia gilt:
a mod [mm] m=a-\left[ m/a \right]*m [/mm] (eine richtige Gauß-Klammer habe ich leider bei den Formeln nicht gefunden)
Auf mein Beispiel übertragen heißt das:
[mm] f_0 [/mm] mod [mm] 1=f_0-\left[ f_0/1 \right]*1=f_0-0*1=f_0.
[/mm]
Dies ist sicher [mm] \ge f_0.
[/mm]
q.e.d.
Richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo DerGraf!
"\lfloor x \rfloor" erzeugt [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Mo 20.10.2008 | | Autor: | DerGraf |
Danke für die Info :)
Und was sagst du zum Beweis?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Mi 22.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 04:26 Di 21.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Naja du kannst ja a) verwenden:
> Also musst du nur zeigen, dass [mm]f_{0}[/mm] mod 1 [mm]\ge f_{0}[/mm]
Das ist so nicht ganz richtig. Aussage a) bedeutet, dass
[mm] f_1 x_1 +\dots + f_n x_n -f_0 \in \IZ[/mm].
Für die Folgerung muss man zeigen, dass diese ganze Zahl nichtnegativ ist!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:44 Di 21.10.2008 | | Autor: | DerGraf |
Alle [mm] x_n [/mm] sind [mm] \ge0 [/mm] und die [mm] f_i [/mm] sind aus dem Intervall [0,1).
Damit habe ich eine Summe von Produkten nicht negativer Zahlen, womit die linke Seite immer positiv ist.
Reicht das als Beweis?
Gruß DerGraf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Mi 22.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Alle [mm]x_n[/mm] sind [mm]\ge0[/mm] und die [mm]f_i[/mm] sind aus dem Intervall [0,1).
> Damit habe ich eine Summe von Produkten nicht negativer
> Zahlen, womit die linke Seite immer positiv ist.
Die linke Seite darf auch 0 sein, wenn nämlich alle [mm] $x_i=0$ [/mm] sind.
Du musst also ein bischen präziser argumentieren.
Wir haben:
[mm] f_1 x_1 +\dots + f_n x_n -f_0 = k \in \IZ [/mm]
Für die Behauptung musst du zeigen, dass [mm] $k\ge [/mm] 0$.
Es ist [mm] $f_1 x_1 +\dots [/mm] + [mm] f_n x_n\ge [/mm] 0$ und [mm] $0\le f_0< [/mm] 1$. Was ist also der kleinstmögliche Wert von k?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:38 Mi 22.10.2008 | | Autor: | DerGraf |
Ich glaub, jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank für deine Antwort :)
Gruß DerGraf
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