Beweis mit vollst. Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Mi 14.05.2008 | | Autor: | teba |
| Aufgabe | a)Erläutern Sie den Beweis einem (fiktiven) Mitstudierenden (schriftlich notieren).
Behauptung: Die Summe von drei aufeinander folgenden Zahlen ist durch 3 teilbar.
Es gelte also (n+n+1+n+2) ist durch 3 teilbar.
Beweis mit Vollständiger Induktion.
Induktionsverankerung: n sei 1: 1+2+3=6, 6 ist durch 3 teilbar.
Induktionsschluss: Zu zeigen ist der Schluss von n auf n+1:
Annahme: Die Behauptung gelte für n
Frage: Gilt sie auch für n+1?
n+1+n+2+n+3
=n+1+n+2+n+3+n-n
=n+n+1+n+2+n-n+3
=(n+n+1+n+2)+3
In der Klammer ist gemäß Annahme durch 3 teilbar.
3 ist natürlich auch durch 3 teilbar.
Die Summe von zwei durch 3 teilbaren Zahlen ist wieder durch 3 teilbar.
Also ist der Satz bewiesen: Drei aufeinander folgende Zahlen sind durch 3 teilbar. |
Warum steht in der zweiten Zeile der Induktion am Ende noch +n-n? Es fällt hinterher sowieso wieder heraus und hat meiner Meinung nach keine Funktion. Kann mir jemand weiterhelfen?
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# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo teba und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> a)Erläutern Sie den Beweis einem (fiktiven) Mitstudierenden
> (schriftlich notieren).
>
> Behauptung: Die Summe von drei aufeinander folgenden Zahlen
> ist durch 3 teilbar.
> Es gelte also (n+n+1+n+2) ist durch 3 teilbar.
> Beweis mit Vollständiger Induktion.
> Induktionsverankerung: n sei 1: 1+2+3=6, 6 ist durch 3
> teilbar.
> Induktionsschluss: Zu zeigen ist der Schluss von n auf
> n+1:
> Annahme: Die Behauptung gelte für n
> Frage: Gilt sie auch für n+1?
> n+1+n+2+n+3
> =n+1+n+2+n+3+n-n
> =n+n+1+n+2+n-n+3
> =(n+n+1+n+2)+3
>
> In der Klammer ist gemäß Annahme durch 3 teilbar.
> 3 ist natürlich auch durch 3 teilbar.
> Die Summe von zwei durch 3 teilbaren Zahlen ist wieder
> durch 3 teilbar.
> Also ist der Satz bewiesen: Drei aufeinander folgende
> Zahlen sind durch 3 teilbar.
> Warum steht in der zweiten Zeile der Induktion am Ende
> noch +n-n? Es fällt hinterher sowieso wieder heraus und hat
> meiner Meinung nach keine Funktion. Kann mir jemand
> weiterhelfen?
Na, der erste Teil ist die Induktionsbehauptung,
also 3 teilt $(n+1)+(n+2)+(n+3)$, die zu zeigen ist
Dann wird einfach eine "nahrhafte Null" addiert, also nix verändert
3 teilt also [mm] $n+(n+1)+(n+2)\underbrace{\blue{+n-n}}_{=0}$ [/mm] zu zeigen
Da steht also nochmal die Induktionsbehauptung, nur in etwas aufgeblasener Form.
Der Rest ist kommutatives und assoziatives Hin-und Herschieben, so dass nachher die Induktionsvoraussetzung benutzen kannst (und den Satz über die Teilbarkeit der Summe)
Es wird also die zu zeigende Beh. [mm] $3\mid [/mm] (n+1)+(n+2)+(n+2)$ auf die gleichwertige Ind. Beh. [mm] $3\mid [/mm] [(n+(n+1)+(n+2))+3]$ zurückgeführt
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> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Mi 14.05.2008 | | Autor: | teba |
Ich verstehe trotzdem noch nicht, was ich davon habe, eine nahrhafte Null hinzugefügt haben. Kann man das noch anders beschreiben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Mi 14.05.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ich verstehe trotzdem noch nicht, was ich davon habe, eine
> nahrhafte Null hinzugefügt haben. Kann man das noch anders
> beschreiben?
Ja, kann man!
Ich kann nämlich den Term n+1 + n+2 + n+3 wegen des Kommutativgesetzes umordnen und das dritte n, also den 5. Summanden, nach vorne ziehen. Dann ergibt sich
n+1 + n+2 + n+3 = n + n+1 + n+2 + 3.
Auf den Anfang kann ich die Induktionsvoraussetzung loslassen und dann wie oben argumentieren.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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