Beweis mittels Anordnungsaxiom < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Preed |
| Aufgabe | Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Beweisen Sie die Aussage mithilfe der Anordnungsaxiome oder finden Sie ein Gegenbeispiel.
a) Seien [mm] a,b\in\IR [/mm] mit ab>1 und a<1. Dann folgt, dass b>1. |
Hi zusammen,
ich habe folgende Aufgabe. Die Lösung erscheint mir aber derart leicht, dass ich es einfach nicht glauben kann dass es richtig ist.
Ich hatte geplant das ganze einfach mal durch einsetzen von Werten für a und b "auszurechnen". So habe ich für
a=0,1 und für b=2 eingesetzt.
Dann entsteht folgende Aussage:
0,1 * 2 > 1
0,2 > 1 --> Stimmt nicht
a < 1 b > 1
0,1 < 1 --> Stimmt 2 > 1 --> Stimmt
Also die Werte für a und b habe ich gemäß den Angaben eingehalten, aber dann würde ja a*b>1 nicht stimmen und die Aussage wäre falsch, bewiesen mittels Gegenbeispiel. Irgendwie habe ich aber dennoch das Geühl, dass das nicht geht was ich da vorgeschlagen habe.
Wäre schön mal eine andere Meinung zu meiner Idee zu hören.
Vielen Dank im Vorraus
Preed
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Mi 21.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Die Aussage lautet "Wenn [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] sind, welche sowohl ab>1 als auch $a<1$ erfüllen, dann ist $b>1$."
Dein Gegenbeispiel ist falsch, denn $a=0.1$ und $b=2$ erfüllen nicht die Bedinung $ab>1$, also hast du die Behauptung damit nicht widerlegt.
Die Aussage ist aber tatsächlich falsch, d.h. es lässt sich ein Gegenbeispiel finden. Nur so als Tipp: probier auch mal negative Zahlen aus...
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Preed |
Da hätte ich eigentlich auch selbst drauf kommen können *schäm*
Also muss ich mir jetzt ein Beispiel Ausdenken in dem:
a*b>1
a< 1
Wenn ich nun ein Beispiel finde in dem diese 2 Aussagen zutreffen, b dann aber nicht b>1 ist dann habe ich also bewiesen dass die Aussage nicht stimmt.
Gibt es dafür gewisse Rechenwege oder macht man das einfach durch logisches Nachdenken und ausprobieren?
Schonmal danke für die Hilfe
Preed
Noch als ich das geschrieben habe kam mir ein Beispiel deswegen schreibe ich das einfach mal im Anschluss:
[mm] a,b\in\IN [/mm] mit ab>1 a<1 -> b>1
Ich nehme an, dass a = -4 und b = -0,5
a * b > 1
(-4) * (-0,5 )> 1
2 > 1 ---> Stimmt
a < 1
-4 < 1 ---> Stimmt
Somit hätte ich die beiden Vorraussetzungen erfüllt, aber die Schlussfolgerund b>1 stimmt nicht, denn
b > 1
-0,5 > 1
und damit wäre bewiesen, dass die Aussage nicht stimmt?!
Hoffe jetzt mal schwer dass es richtig ist.
Danke für den Tipp mit den negativen Zahlen und natürrlich überhaupt für die Hilfe Robert 
Jetzt bleibt mir nur die Frage (da ich das Thema Beweise usw. vor der Uni nie durchgenommen habe), kann ich das so schreiben wie hier oder muss ich da noch auf eine bestimmte Schreibweise achten?
Gruß
Preed
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Mi 21.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Dein Gegenbeispiel ist richtig. Noch einfacher wäre $a=-1$ und $b=-2$, denn dann ist $ab=2>1$ und $a=-1<1$, aber [mm] $b=-2\le [/mm] 1$. So würde ich das aufschreiben, schöne deutsche Sätze. In der Mathematik gibt es natürlich keine Patentrezepte, nur Zeit und gründliches Nachdenken.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Preed |
| Aufgabe | Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Beweisen Sie die Aussage mithilfe der Anordnungsaxiome oder finden Sie ein Gegenbeispiel.
b) Seien [mm] x,y,a,b\in\INmit [/mm] 0 [mm] \le [/mm] x < y und 0 [mm] \le [/mm] a < b, dann folgt, dass a * x < b * y. |
Ok, mit dem beispiel ist es noch einfach, war schon froh dass ich auf einmal doch so schnell drauf gekommen bin :-D danke für deine Hilfe Robert!
Aber da es so schön war, gleich noch einen hinterher. Also diese Aufgabe ist nun ganz komisch finde ich. Wenn x und a kleiner als y und b sind, dann MUSS a*x < b*y sein. Das ist doch wohl ganz logisch. Es gibt keine Möglichkeit dass a*x größer wird als b*y.
Aber mir fällt nichts ein wie ich das beweisen kann. Gibt es irgendein Gesetz was in etwa wie folgt lautet?
Sind die Bestandteile eines Produktes kleiner als die Bestandteile eines anderen Produktes, so ist das erste Produkt kleiner als der 2. Produkt?
Da muss man ja nichts rechnen um auf die Lösung zu kommen.
Nochmals vielen Dank im vorraus für eure Hilfe
Preed
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Mi 21.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Beweisen Sie die
> Aussage mithilfe der Anordnungsaxiome oder finden Sie ein
> Gegenbeispiel.
> b) Seien [mm]x,y,a,b\in\INmit[/mm] 0 [mm]\le[/mm] x < y und 0 [mm]\le[/mm] a < b,
> dann folgt, dass a * x < b * y.
> Ok, mit dem beispiel ist es noch einfach, war schon froh
> dass ich auf einmal doch so schnell drauf gekommen bin :-D
> danke für deine Hilfe Robert!
>
> Aber da es so schön war, gleich noch einen hinterher. Also
> diese Aufgabe ist nun ganz komisch finde ich. Wenn x und a
> kleiner als y und b sind, dann MUSS a*x < b*y sein. Das ist
> doch wohl ganz logisch. Es gibt keine Möglichkeit dass a*x
> größer wird als b*y.
Du sollst hier aber nicht deine Intuition benutzen, sondern die Aussage formal mit Hilfe der Anordnungsaxiome beweisen.
> Aber mir fällt nichts ein wie ich das beweisen kann. Gibt
> es irgendein Gesetz was in etwa wie folgt lautet?
> Sind die Bestandteile eines Produktes kleiner als die
> Bestandteile eines anderen Produktes, so ist das erste
> Produkt kleiner als der 2. Produkt?
Es sind $-2, -3$ kleiner als $-1, 1$, jedoch gilt $(-2) [mm] \cdot [/mm] (-3) > (-1) [mm] \cdot [/mm] 1$.
> Da muss man ja nichts rechnen um auf die Lösung zu
> kommen.
Du kannst auch nicht einfach "Gesetze" hernehmen, die ihr nicht bewiesen habt. Verwenden darfst du nur, was du bzw. ihr aus den Anordnungsaxiomen herleiten koennt/hergeleitet habt.
Mach's doch in zwei Schritten: zeige $a x [mm] \le [/mm] b x$ und $b x [mm] \le [/mm] b y$, und dann ueberleg dir, waurm nicht $a x = b x = b y$ sein kann.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Fr 23.10.2009 | | Autor: | Preed |
| Aufgabe | Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Beweisen Sie die Aussage mithilfe der Anordnungsaxiome oder finden Sie ein Gegenbeispiel.
b) Seien $ [mm] x,y,a,b\in\INmit [/mm] $ 0 $ [mm] \le [/mm] $ x < y und 0 $ [mm] \le [/mm] $ a < b, dann folgt, dass a * x < b * y. |
Hi Felix,
danke für deinen tipp. Aber ich bin mir nicht sicher ob man das so machen darf.
Ich habe folgendes Axiom benutzt, welches wir auch schon in der vorlesung hatten:
A(13) a < b und 0 < c -> ac < bc
Nun habe ich folgendermaßen eingesetzt:
a < b und 0 < x -> ax < bx
Dann habe ich das ganze nochmal gemacht und dieses mal folgendermaßen eingesetzt:
x < y und 0 < b -> bx < by
So und diese beiden Axiome zusammen ergibt:
ax < bx < by -> ax < by
Aber ich kann nicht glauben dass es so geht, denn das Axiom heißt "0 < c" und wenn ich c = x setze würde es ja lauten, 0 < x. In der Aufgabenstellung steht aber 0 [mm] \le [/mm] x < y. Zudem hast du ja auch geschrieben dass ich zeigen soll, dass ax [mm] \le [/mm] bx. Dafür habe ich aber leider kein Axiom in meinen Unterlagen gefunden welches wir schon kennen.
Wo liegt denn nun der Fehler?
Gruß
Preed
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Fr 23.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
du musst hier ein wenig mit den Axiomen spielen
Du hast a<b und x<y
Fang mal mit x<y an
Dann ist auch xa<ya
Mit den Kommutativgesetz.
ax<ay
Und es gilt
a<b
[mm] \gdw [/mm] ay<by
Jetzt bist du dran 
Das ganze musst du natürlich noch nen bisschen ausformulieren.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Fr 23.10.2009 | | Autor: | Preed |
| Aufgabe | Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Beweisen Sie die Aussage mithilfe der Anordnungsaxiome oder finden Sie ein Gegenbeispiel.
b) Seien $ [mm] x,y,a,b\in\INmit [/mm] $ 0 $ [mm] \le [/mm] $ x < y und 0 $ [mm] \le [/mm] $ a < b, dann folgt, dass a * x < b * y. |
Hi Marius,
aber das ist doch wieder genau das selbe wie eben. Das Axiom lautet
a<b und 0<c ->ac<bc
> Du hast a<b und x<y
>
> Fang mal mit x<y an
>
> Dann ist auch xa<ya
Mit x<y hast du ja noch recht, aber damit du das Axiom anwenden kannst muss 0<a sein (Eindeutig kleiner) laut Aufgabenstellung ist aber 0 [mm] \le [/mm] a < b (0 kleiner GLEICH a). Und das passt doch nicht zusammen
Preed
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Fr 23.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [...]
> Mit x<y hast du ja noch recht, aber damit du das Axiom
> anwenden kannst muss 0<a sein (Eindeutig kleiner) laut
> Aufgabenstellung ist aber 0 [mm]\le[/mm] a < b (0 kleiner GLEICH
> a). Und das passt doch nicht zusammen
Dann mach halt ne Fallunterscheidung a=0 und [mm] a\ne0, [/mm] wobei der Fall a=0 trivial ist
>
>
> Preed
Marius
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