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Forum "Induktionsbeweise" - Beweis mittels vol. Induktion
Beweis mittels vol. Induktion < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis mittels vol. Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:02 So 21.04.2013
Autor: MatheDell

Aufgabe
Mittels vollständiger Induktion beweise man folgende Ungleichung:

[mm] \produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i})\ge1+\summe_{i=1}^{n}(a_{i}) [/mm]

wenn die [mm] a_{i} [/mm] reelle Zahlen mit [mm] a_{i} \ge [/mm] -1 und [mm] a_{i}a_{j} \ge [/mm] 0 für alle i,j = 1,2,...,n

Welche Ungleichung erhält man für [mm] a_{1}=a_{2}=...=a_{n} [/mm]

Meine Rechnung bis jetzt:

I.A.

n=1

[mm] 1+a_{1} \ge 1+a_{1} [/mm]

n -> n+1

[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}(1+a_{i}) [/mm] = [mm] (1+a_{n+1})\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i}) [/mm] =(IV) [mm] (1+a_{n+1})(1+\summe_{i=1}^{n}(a_{i})) [/mm]

Jetzt komme ich nicht weiter.



        
Bezug
Beweis mittels vol. Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:19 So 21.04.2013
Autor: tobit09

Hallo MatheDell,


> Mittels vollständiger Induktion beweise man folgende
> Ungleichung:
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i})\ge1+\summe_{i=1}^{n}(a_{i})[/mm]
>  
> wenn die [mm]a_{i}[/mm] reelle Zahlen mit [mm]a_{i} \ge[/mm] -1 und
> [mm]a_{i}a_{j} \ge[/mm] 0 für alle i,j = 1,2,...,n
>  
> Welche Ungleichung erhält man für [mm]a_{1}=a_{2}=...=a_{n}[/mm]
>  Meine Rechnung bis jetzt:
>  
> I.A.
>  
> n=1
>  
> [mm]1+a_{1} \ge 1+a_{1}[/mm]
>  
> n -> n+1
>  
> [mm]\produkt_{i=1}^{n+1}(1+a_{i})[/mm] =
> [mm](1+a_{n+1})\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i})[/mm] =(IV)
> [mm](1+a_{n+1})(1+\summe_{i=1}^{n}(a_{i}))[/mm]

Im letzten Schritt muss es [mm] "$\ge$" [/mm] statt "$=$" heißen. Welche Voraussetzung geht hier ein?

> Jetzt komme ich nicht weiter.

Multipliziere nun aus und verwende dann die Voraussetzung [mm] $a_i*a_j\ge [/mm] 0$ für alle [mm] $i,j=1,\ldots,n+1$. [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Beweis mittels vol. Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:09 So 21.04.2013
Autor: MatheDell

[mm](1+a_{n+1})\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i})[/mm][mm] \ge(IV)(1+a_{n+1})(1+\summe_{i=1}^{n}(a_{i})) [/mm] = [mm] 1+\summe_{i=1}^{n}(a_{i})+a_{n+1}*a_{n+1}\summe_{i=1}^{n}=1+(a_{n+1})+2* [/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}\ge1+\summe_{i=1}^{n+1}a_{i}=1+a_{n+1}\summe_{i=1}^{n} [/mm]

Wäre das so bewiesen?


+> Hallo MatheDell,

>  
>
> > Mittels vollständiger Induktion beweise man folgende
> > Ungleichung:
> >
> > [mm]\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i})\ge1+\summe_{i=1}^{n}(a_{i})[/mm]
>  >  
> > wenn die [mm]a_{i}[/mm] reelle Zahlen mit [mm]a_{i} \ge[/mm] -1 und
> > [mm]a_{i}a_{j} \ge[/mm] 0 für alle i,j = 1,2,...,n
>  >  
> > Welche Ungleichung erhält man für [mm]a_{1}=a_{2}=...=a_{n}[/mm]
>  >  Meine Rechnung bis jetzt:
>  >  
> > I.A.
>  >  
> > n=1
>  >  
> > [mm]1+a_{1} \ge 1+a_{1}[/mm]
>  >  
> > n -> n+1
>  >  
> > [mm]\produkt_{i=1}^{n+1}(1+a_{i})[/mm] =
> > [mm](1+a_{n+1})\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i})[/mm] =(IV)
> > [mm](1+a_{n+1})(1+\summe_{i=1}^{n}(a_{i}))[/mm]
>  Im letzten Schritt muss es "[mm]\ge[/mm]" statt "[mm]=[/mm]" heißen. Welche
> Voraussetzung geht hier ein?
>  
> > Jetzt komme ich nicht weiter.
>  Multipliziere nun aus und verwende dann die Voraussetzung
> [mm]a_i*a_j\ge 0[/mm] für alle [mm]i,j=1,\ldots,n+1[/mm].
>  
>
> Viele Grüße
>  Tobias


Bezug
                        
Bezug
Beweis mittels vol. Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:35 So 21.04.2013
Autor: sissile

Hallo
Beim ausmultiplizieren ist etwas schief gelaufen bzw. ein * gehört durch ein + ersetzt. Der nächsten Schritt stimmt nicht.

[mm] \prod_{i=1}^{n+1} [/mm] (1+ [mm] a_i) [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^n [/mm] (1+ [mm] a_i) *(1+a_{n+1}) \ge [/mm] (1+ [mm] \sum_{i=1}^n a_i [/mm] ) [mm] (1+a_{n+1})= [/mm] 1 + [mm] \sum_{i=1}^{n+1} a_i [/mm] + [mm] a_{n+1}* \sum_{i=1}^n a_i \ge [/mm] 1 + [mm] \sum_{i=1}^{n+1} a_i [/mm]
Ist dir bewusst welche Voraussetzung ich beim letzten Ungleichheitszeichen verwende?


> Welche Ungleichung erhält man für $ [mm] a_{1}=a_{2}=...=a_{n} [/mm] $

[mm] a_i= [/mm] s für alle i [mm] \in \{1,..,n\} [/mm]
Dann erhalte ich für die Ungleichung:
[mm] \overbrace{(1+s)*(1+s)*...(1+s)}^{n-mal} \ge [/mm] 1 [mm] +\overbrace{s+s...+s}^{n-mal} [/mm]
<=>
..
LG

Bezug
                                
Bezug
Beweis mittels vol. Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:54 So 21.04.2013
Autor: MatheDell


> Hallo
>  Beim ausmultiplizieren ist etwas schief gelaufen bzw. ein
> * gehört durch ein + ersetzt. Der nächsten Schritt stimmt
> nicht.
>  
> [mm]\prod_{i=1}^{n+1}[/mm] (1+ [mm]a_i)[/mm] = [mm]\prod_{i=1}^n[/mm] (1+ [mm]a_i) *(1+a_{n+1}) \ge[/mm]
> (1+ [mm]\sum_{i=1}^n a_i[/mm] ) [mm](1+a_{n+1})=[/mm] 1 + [mm]\sum_{i=1}^{n+1} a_i[/mm]
> + [mm]a_{n+1}* \sum_{i=1}^n a_i \ge[/mm] 1 + [mm]\sum_{i=1}^{n+1} a_i[/mm]

Also hast du [mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] zu [mm] \sum_{i=1}^{n+1} [/mm] zusammengefasst.

>  
> Ist dir bewusst welche Voraussetzung ich beim letzten
> Ungleichheitszeichen verwende?
>  

Da [mm] a_{n+1}* \sum_{i=1}^n a_i [/mm]  laut Vorraussetzung [mm] (a_{i}*a_{j}\ge0) [/mm] immer grösser als null sind und die anderen Teile des Terms übereinstimmen, sollte die Ungleichung erfüllt sein, oder?

>
> > Welche Ungleichung erhält man für [mm]a_{1}=a_{2}=...=a_{n}[/mm]
>  [mm]a_i=[/mm] s für alle i [mm]\in \{1,..,n\}[/mm]
>  Dann erhalte ich für
> die Ungleichung:
>  [mm]\overbrace{(1+s)*(1+s)*...(1+s)}^{n-mal} \ge[/mm] 1
> [mm]+\overbrace{s+s...+s}^{n-mal}[/mm]
>  <=>

[mm] (1+s)^{n} \ge s^{n} [/mm]

>  ..
>  LG


Bezug
                                        
Bezug
Beweis mittels vol. Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:16 So 21.04.2013
Autor: sissile

Hallo
>  >  Beim ausmultiplizieren ist etwas schief gelaufen bzw.
> ein
> > * gehört durch ein + ersetzt. Der nächsten Schritt stimmt
> > nicht.
>  >  
> > [mm]\prod_{i=1}^{n+1}[/mm] (1+ [mm]a_i)[/mm] = [mm]\prod_{i=1}^n[/mm] (1+ [mm]a_i) *(1+a_{n+1}) \ge[/mm]
> > (1+ [mm]\sum_{i=1}^n a_i[/mm] ) [mm](1+a_{n+1})=[/mm] 1 + [mm]\sum_{i=1}^{n+1} a_i[/mm]
> > + [mm]a_{n+1}* \sum_{i=1}^n a_i \ge[/mm] 1 + [mm]\sum_{i=1}^{n+1} a_i[/mm]
>  
> Also hast du [mm]a_{n+1}[/mm] + [mm]\sum_{i=1}^n[/mm] zu [mm]\sum_{i=1}^{n+1}[/mm]
> zusammengefasst.

Gut erkannt ;)

> >  

> > Ist dir bewusst welche Voraussetzung ich beim letzten
> > Ungleichheitszeichen verwende?
>  >  
> Da [mm]a_{n+1}* \sum_{i=1}^n a_i[/mm]  laut Vorraussetzung
> [mm](a_{i}*a_{j}\ge0)[/mm] immer grösser als null sind und die
> anderen Teile des Terms übereinstimmen, sollte die
> Ungleichung erfüllt sein, oder?

Das erste stimmt aber welche anderen Teile meinst du?
[mm] a_{n+1}* \sum_{i=1}^n a_i [/mm] = [mm] \overbrace{a_{n+1} a_1}^{\ge 0} +\overbrace{a_{n+1} a_2}^{\ge 0} +...+\overbrace{a_{n+1} a_n}^{\ge 0} [/mm]
Und damit [mm] a_{n+1}* \sum_{i=1}^n a_i \ge [/mm] 0

Ich verwende hier nur das Distributivgesetz und dann die von dir genannte Vorrausetzung.

Und jetzt wünsche ich dir einen schönen Morgen oder eine gute Nacht ;)
Für mich das zweitere ;)
LG

Bezug
                                                
Bezug
Beweis mittels vol. Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 05:29 So 21.04.2013
Autor: MatheDell


>  Hallo
>  >  >  Beim ausmultiplizieren ist etwas schief gelaufen
> bzw.
> > ein
> > > * gehört durch ein + ersetzt. Der nächsten Schritt stimmt
> > > nicht.
>  >  >  
> > > [mm]\prod_{i=1}^{n+1}[/mm] (1+ [mm]a_i)[/mm] = [mm]\prod_{i=1}^n[/mm] (1+ [mm]a_i) *(1+a_{n+1}) \ge[/mm]
> > > (1+ [mm]\sum_{i=1}^n a_i[/mm] ) [mm](1+a_{n+1})=[/mm] 1 + [mm]\sum_{i=1}^{n+1} a_i[/mm]
> > > + [mm]a_{n+1}* \sum_{i=1}^n a_i \ge[/mm] 1 + [mm]\sum_{i=1}^{n+1} a_i[/mm]
>  
> >  

> > Also hast du [mm]a_{n+1}[/mm] + [mm]\sum_{i=1}^n[/mm] zu [mm]\sum_{i=1}^{n+1}[/mm]
> > zusammengefasst.
> Gut erkannt ;)
>  > >  

> > > Ist dir bewusst welche Voraussetzung ich beim letzten
> > > Ungleichheitszeichen verwende?
>  >  >  
> > Da [mm]a_{n+1}* \sum_{i=1}^n a_i[/mm]  laut Vorraussetzung
> > [mm](a_{i}*a_{j}\ge0)[/mm] immer grösser als null sind und die
> > anderen Teile des Terms übereinstimmen, sollte die
> > Ungleichung erfüllt sein, oder?
>  Das erste stimmt aber welche anderen Teile meinst du?

Ich meine mit den anderen Teilen, dass die beiden 1 + [mm]\sum_{i=1}^{n+1} a_i[/mm] auf beiden Seiten der Ungleichung übereinstimmen

>  [mm]a_{n+1}* \sum_{i=1}^n a_i[/mm] = [mm]\overbrace{a_{n+1} a_1}^{\ge 0} +\overbrace{a_{n+1} a_2}^{\ge 0} +...+\overbrace{a_{n+1} a_n}^{\ge 0}[/mm]
> Und damit [mm]a_{n+1}* \sum_{i=1}^n a_i \ge[/mm] 0
>  
> Ich verwende hier nur das Distributivgesetz und dann die
> von dir genannte Vorrausetzung.
>  
> Und jetzt wünsche ich dir einen schönen Morgen oder eine
> gute Nacht ;)
>  Für mich das zweitere ;)
>  LG

Die Ungleichung [mm] (1+s)^{n} \ge s^{n} [/mm] gilt ja für -1 z.B garnicht mehr oder vertue ich mich gerade?

Gute Nacht und danke für die Hilfe.

Bezug
                                                        
Bezug
Beweis mittels vol. Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:37 So 21.04.2013
Autor: sissile

Achte darauf, wo du eine Addition und wo du eine Multiplikation hast.
Rechts kommst du so auf keine Potenz.

lg

Bezug
                                                                
Bezug
Beweis mittels vol. Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 05:51 So 21.04.2013
Autor: MatheDell

[mm] (1+s)^n\ge [/mm] n*s

Das ist doch die Bernoulli-Ungleichung, oder?

Bezug
                                                                        
Bezug
Beweis mittels vol. Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:10 So 21.04.2013
Autor: tobit09


> [mm](1+s)^n\ge[/mm] n*s
>  
> Das ist doch die Bernoulli-Ungleichung, oder?

Wenn du das "1+" auf der rechten Seite nicht vergisst: Ja.


Du hast übrigens innerhalb des Induktionsschrittes die Ungleichung

     [mm] $(1+a_{n+1})\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i})\ge(IV)(1+a_{n+1})(1+\summe_{i=1}^{n}(a_{i}))$ [/mm]

noch nicht vollständig begründet. Hier geht die Induktionsvoraussetzung ein und die Voraussetzung... (Aus [mm] $x\ge [/mm] y$ folgt [mm] $z*x\ge [/mm] z*y$ i.A. nur, wenn [mm] $z\ge [/mm] 0$!)

Bezug
                                                                                
Bezug
Beweis mittels vol. Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 So 21.04.2013
Autor: MatheDell


> > [mm](1+s)^n\ge[/mm] n*s
>  >  
> > Das ist doch die Bernoulli-Ungleichung, oder?
> Wenn du das "1+" auf der rechten Seite nicht vergisst: Ja.
>  
>
> Du hast übrigens innerhalb des Induktionsschrittes die
> Ungleichung
>  
> [mm](1+a_{n+1})\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i})\ge(IV)(1+a_{n+1})(1+\summe_{i=1}^{n}(a_{i}))[/mm]
>  
> noch nicht vollständig begründet. Hier geht die
> Induktionsvoraussetzung ein und die Voraussetzung... (Aus
> [mm]x\ge y[/mm] folgt [mm]z*x\ge z*y[/mm] i.A. nur, wenn [mm]z\ge 0[/mm]!)

Muss ich das explizit angeben? In der Aufgabenstellung ist ja gesagt, dass [mm] (a_{i}) \ge [/mm] -1 ist und dann ist [mm] 1+(a_{i+1}) \ge [/mm] 0.

Bezug
                                                                                        
Bezug
Beweis mittels vol. Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 So 21.04.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,


> > Du hast übrigens innerhalb des Induktionsschrittes die
> > Ungleichung
>  >  
> >
> [mm](1+a_{n+1})\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i})\ge(IV)(1+a_{n+1})(1+\summe_{i=1}^{n}(a_{i}))[/mm]
>  >  
> > noch nicht vollständig begründet. Hier geht die
> > Induktionsvoraussetzung ein und die Voraussetzung... (Aus
> > [mm]x\ge y[/mm] folgt [mm]z*x\ge z*y[/mm] i.A. nur, wenn [mm]z\ge 0[/mm]!)
>
> Muss ich das explizit angeben? In der Aufgabenstellung ist
> ja gesagt, dass [mm](a_{i}) \ge[/mm] -1 ist und dann ist [mm]1+(a_{i+1}) \ge[/mm]
> 0.

Ja, das muss explizit angegeben werden. Bei jeder Ungleichung, die Du auf beiden Seiten mit einer Konstante multiplizierst, musst Du Dir über das Relationszeichen Gedanken machen.

Außerdem: Ein Beweis ist nur dann gut, wenn deutlich wird, wo die Voraussetzungen eingehen.


Viele Grüße,
Stefan

Bezug
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