Beweis modulo < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | a [mm] \equiv [/mm] b mod m --> a [mm] \equiv [/mm] (b + xm) mod m für alle x Element Z |
a [mm] \equiv [/mm] b mod m --> m teilt (a-b)
(a-b) ist also vielfaches von m
m teilt ym : (a-b) habe ich als y definiert
Damit teilt m doch automatisch auch ym * xm, da xm ein weiteres Vielfaches von m ist
--> m teilt ym + xm
--> m teilt (a-b + xm)
--> a [mm] \equiv [/mm] (b + xm) mod m
Kann man das so ausdrücken, oder ist das zu unmathematsich?
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> a [mm]\equiv[/mm] b mod m --> a [mm]\equiv[/mm] (b + xm) mod m für alle x
> Element Z
> a [mm]\equiv[/mm] b mod m --> m teilt (a-b)
>
> (a-b) ist also vielfaches von m
>
> m teilt ym : (a-b) habe ich als y definiert
>
> Damit teilt m doch automatisch auch ym * xm, da xm ein
> weiteres Vielfaches von m ist
>
> --> m teilt ym + xm
> --> m teilt (a-b + xm)
> --> a [mm]\equiv[/mm] (b + xm) mod m
>
> Kann man das so ausdrücken, oder ist das zu unmathematsich?
Hallo,
Deine Gedanken sind richtig.
> (a-b) ist also vielfaches von m
>
> m teilt ym : (a-b) habe ich als y definiert
Das hier ist kraus. Daß m ym teilt, ist nicht so erstaunlich...
Wahrscheinlich meintest Du eher a-b=ym, dann paßt's naämlcih.
Paß auf:
Es sei a [mm]\equiv[/mm] b mod m
<==> es gibt ein [mm] z\in \IZ [/mm] mit a-b=zm.
Es ist a-(b+xm)=(a-b)+xm= zm+xm=(z+x)m
Also ist m Teiler von a-(b+xm)
==> [mm] a\equiv [/mm] b+xm mod m.
Gruß v. Angela
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Danke!
Aber benutze ich nicht in diesem Schritt
Es ist a-(b+xm)=(a-b)+xm= zm+xm=(z+x)m
schon das, was eigentlich erst zu beweisen ist. Ist das nicht irgendwie rückwärts gerechnet? Damit kome ich noch nicht ganz mit klar.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 So 25.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke!
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> Aber benutze ich nicht in diesem Schritt
>
> Es ist a-(b+xm)=(a-b)+xm= zm+xm=(z+x)m
>
> schon das, was eigentlich erst zu beweisen ist. Ist das
> nicht irgendwie rückwärts gerechnet? Damit kome ich noch
> nicht ganz mit klar.
Nein. Wenn du damit Probleme hast, dann überlege dir genau, warum du jeden einzelnen Schritt machst.
Mal ganz ausführlich: Der erste und letzte Schritt sind
Assoziativgesetz: a-(b+xm)=(a-b)+xm
und
Distributivgesetz: zm+xm=(z+x)m
Nur im zweiten Schritt wird die Voraussetzung (a-b) teilt m benutzt, denn du ersetzt (a-b) durch zm, was nach Voraussetzung gilt.
Heraus kommt
a-(b+xm) = (z+x)m
also a-(b+xm) teilt m.
Viele Grüße
Rainer
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Danke!
Den Beweis habe ich wirklich top verstanden und auch die Rechengesetze darin entdeckt, aber woher kommt denn auf einmal diese Annahme:
a-(b+xm)????
Das ist doch, wenn man den rechten Teil anders aufschreibt oder nicht?
Ich hoffe, man versteht mein Problem.
Ich habe doch dann rückwärts gerechnet, denn in der vorraussetzung steht doch noch gar nichts von diesem xm. Es heißt ja nur, dass aus a-b=m*q irgendwas folgt, und am ende erst die rechte Seite rauskommen soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 So 25.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke!
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> Den Beweis habe ich wirklich top verstanden und auch die
> Rechengesetze darin entdeckt, aber woher kommt denn auf
> einmal diese Annahme:
>
> a-(b+xm)????
Was ist denn deine Annahme?
> Das ist doch, wenn man den rechten Teil anders aufschreibt
> oder nicht?
Nein, denn du machst keine Annahme. Du willst zeigen, dass für beliebige [mm]x\in Z[/mm] der Ausdruck, den du da hingeschrieben hast, ein Vielfaches von m ist.
Du schreibst einfach nur diesen Ausdruck hin, ohne eine Aussage über seinen Wert zu machen.
Und dann rechnest du seinen Wert aus.
> Ich hoffe, man versteht mein Problem.
> Ich habe doch dann rückwärts gerechnet, denn in der
> vorraussetzung steht doch noch gar nichts von diesem xm. Es
> heißt ja nur, dass aus a-b=m*q irgendwas folgt, und am ende
> erst die rechte Seite rauskommen soll.
Ja, aber die rechte Seite der Behauptung ist ja nicht
a-(b+xm)
sondern
a-(b+xm) ist Vielfaches von m
Also nimmst du dir a-(b+xm) und rechnest nach, dass es ein Vielfaches von m ist.
Viele Grüße
Rainer
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