Beweis ob Gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:04 Sa 05.11.2005 | | Autor: | heine789 |
Hallo zusammen!
Habe gegeben: (G, *) mit a * b = 3te Wurzel aus a³ + b³.
Ich soll jetzt bestimmen, ob es sich um eine abelsche Gruppe handelt.
Möchte als erstes Assoziativität nachweisen.
Hat jemand eine Idee, wie man an das Problem rangehen könnte?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:26 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen heine,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du willst also überprüfen, ob gilt: $a \ [mm] \otimes [/mm] \ (b \ [mm] \otimes [/mm] \ c) \ = \ (a \ [mm] \otimes [/mm] \ b) \ [mm] \otimes [/mm] \ c$ .
Setze doch einfach mal die jeweilige Definition von $a [mm] \otimes [/mm] b \ := \ [mm] \wurzel[3]{a^3 + b^3 \ }$ [/mm] ein:
$a \ [mm] \otimes [/mm] \ (b \ [mm] \otimes [/mm] \ c) \ = \ a \ [mm] \otimes [/mm] \ [mm] \wurzel[3]{b^3 + c^3 \ } [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[3]{a^3 + \left(\wurzel[3]{b^3 + c^3 \ } \ \right)^3 \ } [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[3]{a^3 + b^3 + c^3 \ }$
[/mm]
Und nun dasselbe für $(a \ [mm] \otimes [/mm] \ b) \ [mm] \otimes [/mm] \ c$ und vergleichen, ob beide entstehende Terme für alle $a_$, $b_$ und $c_$ gelten.
Gruß
Loddar
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Das ist wohl eine Wurzel zu viel.
Was ist übrigens die [mm]G[/mm] zugrunde liegende Menge. Wohl [mm]\mathbb{R}[/mm]?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:42 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Leopold!
> Das ist wohl eine Wurzel zu viel.
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Welche denn?
Oder sollte ich doch erst mal meine morgendliche KoffeinDdosis zu mir nehmen?
Gruß
Loddar
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[mm]\left( \sqrt[3]{b^3 + c^3} \right)^3 = b^3 + c^3[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Sa 05.11.2005 | | Autor: | heine789 |
Danke für die schnelle Antwort!
Die Zahlenmenge ist [0, [mm] \infty)
[/mm]
Habe Assoziativität nachgewiesen.
...
[mm] \wurzel[3]{ a^{3} + b^{3} + c^{3}} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{ a^{3} + b^{3} + c^{3}}
[/mm]
Ist folgendes richtig??
Neutrales Element: 0, denn
a [mm] \otimes [/mm] 0 = [mm] \wurzel[3]{a^{3}+0^{3}} [/mm] = a
Kommutativgesetz:
(a [mm] \otimes [/mm] b = b [mm] \otimes [/mm] a)
[mm] \wurzel[3]{ a^{3}+b^{3}} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{ b^{3}+a^{3}}
[/mm]
Also ja, wegen a + b = b + a??
Was mir auf jeden Fall noch fehlt (falls es das gibt), das inverse Element?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Sa 05.11.2005 | | Autor: | heine789 |
Hab das mit dem inversen Element rausgefunden: -a.
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo heine!
Hast Du denn auch überprüft, ob [mm] $a^{\star} [/mm] \ = \ -a$ auch in der vorgegebenen Grundmenge enthalten ist?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:45 Sa 05.11.2005 | | Autor: | heine789 |
Danke für deinen Hinweis!
-a ist ja gar nicht in G enthalten. Also dann doch nur eine Halbgruppe.
Gruß
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![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]"){kind=small}
!!
...
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
