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| Aufgabe | Hallo,
Ich habe hier versucht einen Beweis zu führen und brauche jemanden, der mir sagt, ob der so in Ordnung ist...?
[mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] seien Unterräume eines euklidischen Vektorraumes.
also ich soll folgende 2 Aussagen beweisen bzw. widerlegen:
(1) [mm] (U_1+U_2)^{\perp}=U_1^{\perp}\cap U_2^{\perp}
[/mm]
(2) [mm] (U_1\cap U_2)^{\perp}=U_1^{\perp}\cap U_2^{\perp}
[/mm]
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Meine Vermutung ist, dass sie Aussage (2) wahr ist und die andere falsch.
Hier mein Beweis zu (2):
Sei [mm] u_1,......,u_k [/mm] eine Basis von [mm] U_1 [/mm] und [mm] v_1,.....,v_s [/mm] eine Basis von [mm] U_2, [/mm]
dann existieren die Orthonormalbasen von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] mit
[mm] u_1^{\perp}\cap, ......,\cap u_k^{\perp}=U_1^{\perp}, [/mm] sowie
[mm] v_1^{\perp}\cap .....,\cap v_s^{\perp}=U_2^{\perp}.
[/mm]
Da [mm] U_i^{\perp}=(span<{U_i}>)^{\perp} [/mm] folgt:
[mm] U_1^{\perp}\cap U_2^{\perp}=(span<{U_1}>)^{\perp}\cap (span<{U_2}>)^{\perp}
[/mm]
Die Darstellung als Linearkombination liefert:
[mm] a_1*u_1^{\perp}\cap......\cap a_k*u_k^{\perp}\cap b_1*v_1^{\perp}\cap.....\cap b_s*v_s^{\perp} [/mm] (wobei [mm] a_i, b_i \in \IR)
[/mm]
= [mm] a_1*u_1^{\perp}\cap b_1*v_1^{\perp}\cap......\cap a_k*u_k^{\perp}\cap b_s*v_s^{\perp}
[/mm]
[mm] =(span)^{\perp}
[/mm]
und damit folgt:
[mm] (U_1\cap U_2)^{\perp} [/mm] q.e.d.
Könnt ihr da irgendwo Lücken finden? Ist der Beweis zufriedenstellend?
Bin für jede Hilfe dankbar!  )
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Kann mir wirklich niemand sagen, ob der Beweis in Ordnung ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 So 24.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Hier mein Beweis zu (2):
Gleich vorweg: der ist falsch, da die Aussage falsch ist. Schaun wir mal, wo.
> Sei [mm]u_1,......,u_k[/mm] eine Basis von [mm]U_1[/mm] und [mm]v_1,.....,v_s[/mm]
> eine Basis von [mm]U_2,[/mm]
Immer diese Basen ... das macht es hier einfach nur kompliziert. Aber nun gut.
> dann existieren die Orthonormalbasen von [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] mit
>
> [mm]u_1^{\perp}\cap, ......,\cap u_k^{\perp}=U_1^{\perp},[/mm]
> sowie
>
> [mm]v_1^{\perp}\cap .....,\cap v_s^{\perp}=U_2^{\perp}.[/mm]
Stimmt.
> Da [mm]U_i^{\perp}=(span<{U_i}>)^{\perp}[/mm] folgt:
Tautologisch.
>
> [mm]U_1^{\perp}\cap U_2^{\perp}=(span<{U_1}>)^{\perp}\cap (span<{U_2}>)^{\perp}[/mm]
>
> Die Darstellung als Linearkombination liefert:
>
> [mm]a_1*u_1^{\perp}\cap......\cap a_k*u_k^{\perp}\cap b_1*v_1^{\perp}\cap.....\cap b_s*v_s^{\perp}[/mm]
> (wobei [mm]a_i, b_i \in \IR)[/mm]
Bitte was? Das sind alles Unterräume, die du schneidest, und so lange die [m]a_i, b_i [/m] ungleich 0 sind, kannst du sie auch weglassen, da die gleichen Unterräume entstehen. Was machst du hier?
> = [mm]a_1*u_1^{\perp}\cap b_1*v_1^{\perp}\cap......\cap a_k*u_k^{\perp}\cap b_s*v_s^{\perp}[/mm]
Wieso stellst du das um? k und s müssen auch nicht gleich sein.
> [mm]=(span)^{\perp}[/mm]
Der Schritt ist gar nicht begründet!
> und damit folgt:
>
> [mm](U_1\cap U_2)^{\perp}[/mm] q.e.d.
?
> Könnt ihr da irgendwo Lücken finden? Ist der Beweis
> zufriedenstellend?
Es ist nicht klar, was du mit den BAsen da anstellst.
SEcki
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hmm.. die aussage ist also falsch. okay, dann muss ich halt versuchen sie zu widerlegen. sollte ich das in dem fall formal machen oder besser mit einem gegenbeispiel?
wusste hier nur nicht wie man ein beispiel konstruiert, da ich ja 2 unterräume habe, die beide ortogonale Komplemente sind.....
Also beide sind senkrecht zueinander.
Was ich da gemacht habe:
nun ja, ich hab das versucht ein wenig umzuformen, indem ich es in Basen umschrieb. aber anscheinend sind die umformungen sind korrekt.
ich war auch selber unsicher was das angeht. deswegen hab ich es hier ja auch gepostet.
ich wüsste jetzt aber weder wie man die 1. aussage beweisen kann, noch wie man die 2. widerlegen kann.... :-(
sollte ich da anders vorgehen als ich es vorhin getan habe?
sollte ich vielleicht besser mit der dimensionsformel für unterräume arbeiten?
kannst du mir da vielleicht sonst irgendwie weiterhelfen?
wär echt nett. danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 So 24.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> hmm.. die aussage ist also falsch. okay, dann muss ich halt
> versuchen sie zu widerlegen. sollte ich das in dem fall
> formal machen oder besser mit einem gegenbeispiel?
Ein Gegenbeispiel genügt. Am besten möglichst einfache! Überlege dir Unterräume, deren Schnitt nur die 0 ist -damit ist das Komplement der ganze Raum. Wenn die Räume aber beide nicht leer sind, ist kein orthogonales Komplement der ganze Raum - und damit der Schnitt der beiden auch nicht der ganze Raum.
> wusste hier nur nicht wie man ein beispiel konstruiert, da
> ich ja 2 unterräume habe, die beide ortogonale Komplemente
> sind.....
Öhm. Nein, die Unterräume sind nicht die orthogonalen Komplemente von einander.
> Also beide sind senkrecht zueinander.
Das steht da aber nicht?!
> Was ich da gemacht habe:
> nun ja, ich hab das versucht ein wenig umzuformen, indem
> ich es in Basen umschrieb. aber anscheinend sind die
> umformungen sind korrekt.
Ich habe die Idee deiner Umschreibungen nicht verstanden, auch nicht, was Basen umschreiben denn sein soll.
> ich war auch selber unsicher was das angeht. deswegen hab
> ich es hier ja auch gepostet.
Klar, ich hab bloß deine Idee noch nicht kapiert - deswegen kann ich nicht genau den Finger drauf legen, wo es schief ging. :)
> ich wüsste jetzt aber weder wie man die 1. aussage [mm] (U_1+U_2)^\perp
[/mm]
> beweisen kann, noch wie man die 2. widerlegen kann.... :-(
Zur Gleicheit bzw. zu Inklusionen: nimm doch mal ein [m]w\in U_1^\perp\cap U_2^\perp[/m]. Zu zeigen: [m]w\in (U_1+U_2)^\perp[/m]. Jetzt nimm mal [m]u_1\in U_1, u_2\in U_2[/m] beliebig. Was ist nun [m][/m]? Andere Richtung: es gelte [m]w\in (U_1+U_2)^\perp[/m]. Zeige nun: [m]w\in U_1^\perp[/m], aber auch [m]w\in U_2^\perp[/m].
> sollte ich da anders vorgehen als ich es vorhin getan
> habe?
Imo - definitiv. Basen sind zu konkret um damit verständlich abstraktere Gleichungen zu zeigen imo. Aber das sehen wohl einige anders. YMMV.
> sollte ich vielleicht besser mit der dimensionsformel für
> unterräume arbeiten?
Damit kannst du dir klar machen, warum Gleichheit nicht umbedingt gelten.
SEcki
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ehrlich gesagt bringt mich das nicht wirklich weiter.
ich weiß nicht was ich mit <w, [mm] u_1+u_2> [/mm] anfangen kann.....
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also das einizige was mir einfällt ist folgendes:
[mm] =0 [/mm]
Und das 0 [mm] \in U_1 [/mm] und [mm] \in U_2.
[/mm]
Und 0 [mm] \in U_1+U_2
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 So 24.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> also das einizige was mir einfällt ist folgendes:
> [mm]=0[/mm]
Und wieso soll das gelten? Du musst die Eigenschaften von w benutzen, um das zu zeigen - aber dann ist doch [m]w\in (U_1+U_2)^\perp[/m].
> Und das 0 [mm]\in U_1[/mm] und [mm]\in U_2.[/mm]
Ja, aber das hat doch mit obigen ncihts zu tun?!
> Und 0 [mm]\in U_1+U_2[/mm]
0 ist in allen Unterräumen.
SEcki
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ich verstehe nicht wieso du einfach auf skalarprodukte rübergegangen bist. ich sehe da keinen zusammenhang.. ?
wir sollten doch nur was mit unterräumen zeigen.
wie kommt man da zum skalarprodukt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 So 24.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> ich verstehe nicht wieso du einfach auf skalarprodukte
> rübergegangen bist. ich sehe da keinen zusammenhang.. ?
Na weil [m]U^\perp[/m] das orthogonale Komplement ist - jedenfalls normalerweise ... stimmt doch, oder?
> wir sollten doch nur was mit unterräumen zeigen.
> wie kommt man da zum skalarprodukt?
Siehe oben.
SEcki
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ja doch [mm] U^{\perp} [/mm] ist das orthogonale Komplement.
hmmm... trotzdem häng ich an dieser Stelle und weiß nicht weiter.....
kann mit deinem tipp leider nicht so viel anfangen... :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 So 24.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> ja doch [mm]U^{\perp}[/mm] ist das orthogonale Komplement.
Und das ist mit dem SKP definiert, also daher.
> hmmm... trotzdem häng ich an dieser Stelle und weiß
> nicht weiter.....
An welcher Stelle denn genau?
> kann mit deinem tipp leider nicht so viel anfangen... :-(
Ich habe da einiges geschrieben. Irgendwo eine konkrete Frage?
SEcki
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