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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Beweis rechter Winkel zwischen Radius und Tangente
Beweis rechter Winkel zwischen Radius und Tangente < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis rechter Winkel zwischen Radius und Tangente: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 So 17.10.2004
Autor: Kritiker

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Wer kann mir bitte möglichst schnell weiterhelfen?
Wie lautet ein einfacher Beweis dafür, das der Radius eines Kreises und die Tangente an der Stelle einen rechten Winkel bilden?

Danke für eure Antworten

        
Bezug
Beweis rechter Winkel zwischen Radius und Tangente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 So 17.10.2004
Autor: nitro1185

Hallo!!Sehr schnell ginge es anhand eines beispieles,das ist aber kein allgemeiner Beweis!!!

Berechne allg. eine Tangente an einen Kreis und berechne allgemein den Berührpunkt!!!So jetzt gibst du am besten von der Tangente einen Normalvektor an und von von dem Vektor [mm] \vec [/mm] MT bildest du auch einen Normalvektor und setzt diese in die Winkelformwl ein.du weißt schon was für eine Formel ich meine,oder??

[mm] cos_{\alpha}=\vec [/mm] n1 * [mm] \vec [/mm] n2/|n1|*|n2|  

Ich hoffe der beweis ist halbwegs möglich.mfg daniel

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Bezug
Beweis rechter Winkel zwischen Radius und Tangente: Bitte
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:34 So 17.10.2004
Autor: Kritiker

Vielen Dank für den schnellen Tip nitro1185.
Mir ist die Formel der Schnittwinkelberechnung zwar bekannt, jedoch weiß ich nicht mehr wie ich die Tangente am Kreis und den Berührpunkt berechne? Vielleicht könntest du mir eine kurze Lösung liefern.

Vielen, vielen Dank !!!

Das würde mir sehr helfen, da ich schon seit 6 Jahren aus der Schule raus bin.

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Bezug
Beweis rechter Winkel zwischen Radius und Tangente: ebenfalls Bitte
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:39 So 17.10.2004
Autor: Marc

Hallo Kritiker,

> Vielen Dank für den schnellen Tip nitro1185.
>  Mir ist die Formel der Schnittwinkelberechnung zwar
> bekannt, jedoch weiß ich nicht mehr wie ich die Tangente am
> Kreis und den Berührpunkt berechne? Vielleicht könntest du
> mir eine kurze Lösung liefern.

nitros Tipp wird dich nicht weiterbringen, da er ja bereits voraussetzt, dass Radius und Tangente normal zueinander stehen.

Stattdessen beantworte doch bitte Informix' Nachfrage nach deinem Vorwissen bzw. nach den dir zu Verfügung stehenden Mitteln.
  
Viele Grüße,
Marc

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Beweis rechter Winkel zwischen Radius und Tangente: Rückfrage
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 So 17.10.2004
Autor: informix

Hallo Kritiker,
[willkommenmr]

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Wer kann mir bitte möglichst schnell weiterhelfen?
>  Wie lautet ein einfacher Beweis dafür, das der Radius
> eines Kreises und die Tangente an der Stelle einen rechten
> Winkel bilden?
>  
> Danke für eure Antworten
>

Du hast diese Frage im Forum Klasse 9-10 gestellt. Entsprechen deine Vorkenntnisse dieser Klassenstufe oder kennst du dich auch schon mit Vektorrechnung im 3-dim. Raum aus?
Auf Letzteres bezieht sich m.E. die Antwort von nitro1185.
Am einfachsten wäre es, du würdest uns ein paar Lösungsansätze zeigen, damit wir besser abschätzen können, wo deine Probleme liegen.


Bezug
                
Bezug
Beweis rechter Winkel zwischen Radius und Tangente: Beweis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 So 17.10.2004
Autor: Kritiker

Vorkenntnisse habe ich in der Vektorrechnung(Abi vor 6 Jahren).
Könnte mir jetzt bitte jemand bei diesem Problem eine Antwort geben?
Es reicht vollkommen aus wenn ich eine kurze Lösung habe, ohne viel Rechenarbeit.
vielen Dank

Bezug
        
Bezug
Beweis rechter Winkel zwischen Radius und Tangente: Beweis mit Differentialrechnun
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 So 17.10.2004
Autor: Marc

Hallo Kritiker,

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Wer kann mir bitte möglichst schnell weiterhelfen?
>  Wie lautet ein einfacher Beweis dafür, das der Radius
> eines Kreises und die Tangente an der Stelle einen rechten
> Winkel bilden?

Das wirft natürlich die Frage auf, wie eine Tangente in deinen Augen überhaupt definiert ist.

Einen brauchbare Definition einer Tangente bietet ja die Differentialrechnung, deswegen stelle ich mal eine Beweisidee mit diesen Mitteln vor.

Einen Halbkreis mit Radius r und dem Mittelpunkt M(0|0) beschreibt ja die Funktion [mm] $f(x)=\wurzel{r^2-x^2}$: [/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]

Aus Symmetriegründen genügt es, für nur eine einzige Stelle [mm] $x_0\in [/mm] ]-r,r[$ zu zeigen, dass die dort gebildete Tangente senkrecht auf dem Radius steht (will man dies auch für einen anderen Punkt der Kreislinie zeigen, so drehe man den Kreis bzw. das gesamte Koordinatensystem entsprechend; die Winkelverhältnisse bleiben dadruch erhalten).

Ich wähle die Stelle [mm] $x_0=0$. [/mm] Die Steigung der Funktion f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] beträgt [mm] $f'(x_0)$ [/mm] (f' ist die Ableitung, gebildet mit der MBKettenregel):

[mm] $f'(x)=-2x*\bruch{1}{2\wurzel{r^2-x^2}}$ [/mm]

Wir haben also [mm] $f'(x_0)=0$, [/mm] an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] ist die Tangente waagerecht bzw. parallel zur x-Achse.

Nun liegt der Radius aber offenbar auf der y-Achse, und wir haben gezeigt, dass die Tangente an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] senkrecht auf dem Radius steht.

Bei Unklarheiten frage bitte erneut nach :-)

Viele Grüße,
Marc

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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