Beweis rekursive Defininition < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:41 Mi 16.11.2011 | | Autor: | mythbu |
| Aufgabe | Sei [mm] $a\in[0,1]$ [/mm] und [mm] $f:\IN\to\IR$ [/mm] definiert durch
[mm]f(1)=0, f(n)=\bruch{a+(f(n-1))^2}{2}, n \in \IN[/mm].
Berehne die Ergebnisse für n=2 oder 3 oder 4. |
Hallo,
nun meine Frage ist, ob ich die Aufgabe überhaupt lösen kann. Denn selbst wenn ich n kenne, kann ich sie immer noch nicht berechnen, da ich doch nicht weiß, wie sich a verhält, oder?
Außerdem: wenn ich in einer Ungleichung beweisen soll, dass die obige Funktion $f(n)$ größer ist als ein anderer mathematischer Ausdruck: wie gehe ich da am Besten vor?
Besten Dank vorab,
mythbu
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mythbu, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei [mm]a\in[0,1][/mm] und [mm]f:\IN\to\IR[/mm] definiert durch
> [mm]f(1)=0, f(n)=\bruch{a+(f(n-1))^2}{2}, n \in \IN[/mm].
> Berehne
> die Ergebnisse für n=2 oder 3 oder 4.
"oder" ist hier ja eine eigenartige Formulierung.
> nun meine Frage ist, ob ich die Aufgabe überhaupt lösen
> kann. Denn selbst wenn ich n kenne, kann ich sie immer noch
> nicht berechnen, da ich doch nicht weiß, wie sich a
> verhält, oder?
Natürlich kannst Du das. Und a verhält sich überhaupt nicht, sondern ist einfach ein fester Parameter, für den gilt: [mm] 0\le a\le{1}, a\in\IR.
[/mm]
> Außerdem: wenn ich in einer Ungleichung beweisen soll,
> dass die obige Funktion [mm]f(n)[/mm] größer ist als ein anderer
> mathematischer Ausdruck: wie gehe ich da am Besten vor?
Was für ein Ausdruck denn? Das Vorgehen wird davon abhängen, wie der aussieht. Vielleicht ist es klüger, Du stellst mal die ganze Aufgabe ein.
[mm] f(1)=0,\quad\Rightarrow\quad f(2)=\bruch{a+(f(1))^2}{2}=\bruch{a}{2}
[/mm]
Berechne mal f(3) und f(4).
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Mi 16.11.2011 | | Autor: | mythbu |
| Aufgabe | | Beweisen Sie [mm] $f(n)<=1-\wurzel(1-a)$ [/mm] für alle [mm] $n\in\NI$. [/mm] |
Das ist der Beweisteil der Aufgabe. Ich habe das einfach mal ausgerechnet und bin auf [mm] $f(n-1)<=\wurzel[4]{3}$ [/mm] gekommen. Aber das beweist ja nun nichts ...
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Hallo nochmal,
ich werde ratloser...
> Beweisen Sie [mm]f(n)<=1-\wurzel(1-a)[/mm] für alle [mm]n\in\NI[/mm].
Vorhin hattest Du danach gefragt, wie man zeigen kann, dass f(n) größer als etwas ist.
> Das ist der Beweisteil der Aufgabe. Ich habe das einfach
> mal ausgerechnet und bin auf [mm]f(n-1)<=\wurzel[4]{3}[/mm]
> gekommen. Aber das beweist ja nun nichts ...
In der Tat beweist das nichts. Vor allem aber frage ich mich, wie Du darauf gekommen sein magst. Meine Glaskugel ist gerade in der Reparatur.
Rechne das doch mal vor.
Und nebenbei: was sind nun f(3) und f(4) ?
(Denn er vergaß nie, was er einmal gefragt hatte...)
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Mi 16.11.2011 | | Autor: | mythbu |
Also: meine Glaskugel war wohl zu lange in der Sonne. Und daher habe ich mich bei dem Auflösen ganz schön verrechnet!
Zunächst zu den Lösungen:
[mm]
f(1)=0,
f(2)=\bruch{a}{2},
f(3)=\bruch{a*(a+4)}{8},
f(4)=\bruch{a*(a^3+8a^2+16a+64)}{128}
[/mm]
Nun zum Beweis: es soll folgendes bewiesen werden:
[mm]
f(n) \le 1 - \wurzel{1-a}
[/mm]
(für alle [mm] $n\in\IN).
[/mm]
Nun mir würde jetzt nur einfallen, folgendes zu tun:
[mm]
\Rightarrow f(n) = \bruch{1}{2} * (a + (f(n-1))^2)
[/mm]
[mm]
\bruch{1}{2} * (a + (f(n-1))^2) \le 1 - \wurzel{1-a}
[/mm]
Und wenn ich das ausrechne, dann komme ich zu folgendem "Zwischenergebnis", an dem ich nicht mehr weiter weiß (und auch nicht weiß in wie weit mir das geholfen hat):
[mm]
\bruch{1}{4}*a^2+\bruch{1}{2}*a*(f(n-1))^2+\bruch{1}{4}*(f(n-1))^4 \le a
[/mm]
Und was bringt es mir? Irgendwie ist diese Aufgabe verflixt! Mir fehlt der Ansatz.
Beste Grüße,
mythbu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Mi 16.11.2011 | | Autor: | Jule2 |
Hi!
Also mir sieht dass sehr nach Induktion aus und so wie ich dass sehe kann a nur die Werte 0 oder 1 annehmen!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Mi 16.11.2011 | | Autor: | mythbu |
"[...] kann a nur die Werte 0 oder 1 annehmen!!"
Warum? In der Aufgabe steht doch [mm] $a\in[0,1]$. [/mm] Das sieht doch nach einem Interval aus.
Und wie geht das mit Induktion? Den Beweis durch Vollständige Induktion kenne ich schon (ich habe bereits viele explizite Formen von rekursiven Folgen nachgewiesen). Aber wie mache ich hier den Anfang mit der Relation kleiner gleich?
Gruß,
mythbu
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> "[...] kann a nur die Werte 0 oder 1 annehmen!!"
>
> Warum? In der Aufgabe steht doch [mm]a\in[0,1][/mm]. Das sieht doch
> nach einem Interval aus.
>
> Und wie geht das mit Induktion? Den Beweis durch
> Vollständige Induktion kenne ich schon (ich habe bereits
> viele explizite Formen von rekursiven Folgen nachgewiesen).
> Aber wie mache ich hier den Anfang mit der Relation kleiner
> gleich?
>
> Gruß,
> mythbu
Im Induktionsschritt musst du zeigen:
Wenn [mm] $f(n)\le 1-\sqrt{1-a}$, [/mm] dann ist auch [mm] $f(n+1)\le 1-\sqrt{1-a}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:30 Do 17.11.2011 | | Autor: | mythbu |
Hallo,
normalerweise ist der Induktionsbeweis ja ganz "schön" (wenn man z.B. nachweisen soll, dass [mm] $\summe_{i=1}^{n}(2i-1)=n^2$ [/mm] gilt). Aber hier ???
Also:
$n=1$: [mm] $f(1)\le1-\wurzel{1-a}$ $\Rightarrow$ $\bruch{1}{2}a+\bruch{1}{2}\le1-\wurzel{1-a}$
[/mm]
Für die linke Seite gilt ja, dass sie im Interval [mm] $[\bruch{1}{2},1]$ [/mm] liegt und die Rechte Seite liegt in $[0,1]$. Somit stimmt die ungleichung doch garnicht mehr, oder?
Naja, mache ich trotzdem mal weiter:
[mm]n \to n+1[/mm]:
[mm] $f(n+1)\le1-\wurzel{1-a}$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}(a+(f(n))^2)\le1-\wurzel{1-a}$
[/mm]
[mm] $a+(f(n))^2\le2-\wurzel{4(1-a)}$
[/mm]
[mm] $(f(n))^4\le4a-a^2$
[/mm]
Dann bewegt sich ja der Wert der rechten Seite im Interval $[0,3]$.
So, und wie bringt mich das jetzt weiter?
Gruß,
mythbu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:40 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> normalerweise ist der Induktionsbeweis ja ganz "schön"
> (wenn man z.B. nachweisen soll, dass
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(2i-1)=n^2[/mm] gilt). Aber hier ???
> Also:
>
> [mm]n=1[/mm]: [mm]f(1)\le1-\wurzel{1-a}[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2}a+\bruch{1}{2}\le1-\wurzel{1-a}[/mm]
> Für die linke Seite gilt ja, dass sie im Interval
> [mm][\bruch{1}{2},1][/mm] liegt und die Rechte Seite liegt in [mm][0,1][/mm].
> Somit stimmt die ungleichung doch garnicht mehr, oder?
Was soll das ? Es ist doch f(1)=0.
>
> Naja, mache ich trotzdem mal weiter:
>
> [mm]n \to n+1[/mm]:
> [mm]f(n+1)\le1-\wurzel{1-a}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2}(a+(f(n))^2)\le1-\wurzel{1-a}[/mm]
> [mm]a+(f(n))^2\le2-\wurzel{4(1-a)}[/mm]
> [mm](f(n))^4\le4a-a^2[/mm]
>
> Dann bewegt sich ja der Wert der rechten Seite im Interval
> [mm][0,3][/mm].
>
> So, und wie bringt mich das jetzt weiter?
Das obige bringt Dich nicht weiter, denn es ist Chaos !
I.V: [mm] f(n)\le1-\wurzel{1-a}
[/mm]
Dann gilt: [mm] f(n)^2 \le 2-2\wurzel{1-a}-a
[/mm]
Damit folgt:
f(n+1)= [mm] 1/2(a+f(n)^2) \le 1/2(a+2-2\wurzel{1-a}-a)=1-\wurzel{1-a}
[/mm]
FRED
>
> Gruß,
> mythbu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:04 Do 17.11.2011 | | Autor: | mythbu |
Hallo,
> Was soll das ? Es ist doch f(1)=0.
Ich habe gelernt, dass man bei der Induktion zunächst einmal für das Element n=1 zeigen soll, dass die Aussage stimmt! Das wäre dann doch:
[mm] $f(n)\le1-\wurzel{1-a}\gdw1\le1-\wurzel{1-a}$ [/mm] und da der rechte Teil der Ungleichung von $[0.5,1]$ geht (in Abhängigkeit von a), ist das doch falsch oder?
Außerdem verstehe ich Deinen letzten Schritt nicht:
> [mm]f(n+1)= 1/2(a+f(n)^2) \le 1/2(a+2-2\wurzel{1-a}-a)=1-\wurzel{1-a} [/mm]
Wie kommt man von Deinem vorletzten Schritt [mm]f(n)^2 \le 2-2\wurzel{1-a}-a [/mm] dort hin (den verstehe ich noch)? Und was beweist der letzte Schritt denn nun?
Beste Grüße,
mythbu
P.S.: Sorry, wenn ich so nachfrage, aber ich würde gerne verstehen, wie ich das lösen kann!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Do 17.11.2011 | | Autor: | Helbig |
> Hallo,
>
> > Was soll das ? Es ist doch f(1)=0.
> Ich habe gelernt, dass man bei der Induktion zunächst
> einmal für das Element n=1 zeigen soll, dass die Aussage
> stimmt! Das wäre dann doch:
> [mm]f(n)\le1-\wurzel{1-a}\gdw1\le1-\wurzel{1-a}[/mm] und da der
> rechte Teil der Ungleichung von [mm][0.5,1][/mm] geht (in
> Abhängigkeit von a), ist das doch falsch oder?
Nochmal: $f(1)=0$. Und dann wird die Ungleichung richtig!
>
> Außerdem verstehe ich Deinen letzten Schritt nicht:
> > [mm]f(n+1)= 1/2(a+f(n)^2) \le 1/2(a+2-2\wurzel{1-a}-a)=1-\wurzel{1-a}[/mm]
>
> Wie kommt man von Deinem vorletzten Schritt [mm]f(n)^2 \le 2-2\wurzel{1-a}-a[/mm]
Ersetze [mm] $f(n)^2$ [/mm] durch den nach Induktionsvoraussetzung gößeren Ausdruck [mm] $(1-\sqrt{1-a})^2$.
[/mm]
> dort hin (den verstehe ich noch)? Und was beweist der
> letzte Schritt denn nun?
Den Induktionsschritt: Aus $f(n) [mm] \le 1-\sqrt{1-a}$ [/mm] folgt [mm] $f(n+1)\le 1-\sqrt{1-a}$.
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Do 17.11.2011 | | Autor: | mythbu |
Hallo,
zunächst einmal: DANKE! Ich hatte vorhin einen HEUREKA-Moment und habe verstanden, warum ich was mache und wie ich damit zum Ergebnis komme!
Nun folgendes wenn ich alles ausrechne, komme ich auf [mm] $2\le2$. [/mm] Eine wahre Aussage. Ist damit der Beweis getan?
Gruß,
mythbu
P.S.: Hat von Euch vielleicht einer noch zufällig so eine (ähnliche) Aufgabe in der Tasche, woran ich mich mal ganz alleine versuchen kann (schließlich muss ich ja eine Klausur schreiben und würde gerne sicher gehen, dass ich es auch eigenständig kann)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Do 17.11.2011 | | Autor: | Helbig |
Wenn Du von [mm] $f(n+1)\le 1+\sqrt{1-a}$ [/mm] auf [mm] $2\le [/mm] 2$ über eine Kette äquivalenter Umformungen gekommen bist, ist Dein Beweis wohl richtig. Leserfreundlicher ist eine Gleichungskette, etwa so:
$f(n+1) = [mm] 1/2*(a+f(n)^2)\qquad$ [/mm] (Definition)
[mm] $\qquad\le 1/2*\bigl(a+(1+\sqrt{1-a})^2\bigr)\qquad$ [/mm] (Induktionsvoraussetzung)
[mm] $\qquad=1/2*(a [/mm] + 1 + [mm] 2*\sqrt{1-a} [/mm] + 1 - a)$
[mm] $\qquad=1/2*(2+2*\sqrt{1-a})$
[/mm]
[mm] $\qquad=1+ \sqrt{1-a}$.
[/mm]
Bei der Konstruktion so eines Beweises mußt Du irgendwo die rekursive Definition und die Induktionsvoraussetzung unterbringen und der Rest ergibt sich dann von alleine.
Grüße,
Wolfgang
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