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| Aufgabe | Zeigen Sie für eine reelle Zahl [mm] \alpha [/mm] dass gilt:
[mm] sin(\alpha+\pi) [/mm] = [mm] -sin(\alpha)
[/mm]
[mm] cos(\alpha+\pi) [/mm] = [mm] -cos(\alpha) [/mm] |
Hallo Matheraum,
bei diesen beiden Beweisen habe ich bereits am Anfang nicht, wie ich sie angehen soll.
Wenn ich den Einheitskreis betrachte, dann ist mir klar, dass (locker ausgedrückt) z. B. der Punkt (0,1) + eine Halbkreis den Punkt (0,-1) ergibt. Das drückt die erste Gleichung doch aus, oder?
Kann ich etwas damit anfangen, dass [mm] \pi [/mm] := [mm] \angle [/mm] POQ (P=(1,0), Q=-P)?
Eine andere Idee von mir wäre es zu zeigen, dass [mm] sin(\alpha+\pi) [/mm] = [mm] sin(-\alpha) [/mm] = [mm] -sin(\alpha). [/mm] Das sieht für mich schon mal logisch aus, nur weiß ich nicht, wie ich auf [mm] -\alpha [/mm] kommen soll, wenn ich [mm] \alpha+\pi [/mm] rechne.
Habt ihr hierfür einen Tipp für mich?
Gruß Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Di 26.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
Ich würde hier mit den ![[]](/images/popup.gif) Additionstheoremen vorgehen.
Anschließend wird noch benutzt, dass der Sinus eine ungerade und der Cosinus eine gerade Funktion ist.
Gruß
Loddar
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[mm] sin(\alpha+\pi) [/mm] = [mm] sin(\alpha)cos(\pi)+sin(\pi)cos(\alpha) [/mm] = [mm] sin(\alpha)*(-1)+0*cos(\alpha) [/mm] = [mm] -sin(\alpha)
[/mm]
Soll das wirklich so einfach sein, oder darf ich an dieser Stelle [mm] sin(\pi) [/mm] und [mm] cos(\pi) [/mm] nicht ausrechnen?
An welcher Stelle kann ich etwas damit anfangen, dass es sich um gerade/ungerade Funktionen handelt? Das ist mir noch nicht klar.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Mi 27.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
> Soll das wirklich so einfach sein, oder darf ich an dieser
> Stelle [mm]sin(\pi)[/mm] und [mm]cos(\pi)[/mm] nicht ausrechnen?
Klar doch! Da fällt mir kein Gegenargument ein.
> An welcher Stelle kann ich etwas damit anfangen, dass es
> sich um gerade/ungerade Funktionen handelt? Das ist mir
> noch nicht klar.
Das bezog sich auf Deinen o.g. Alternativweg.
Gruß
Loddar
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Hallo Martin,
diese Aufgabe lässt sich noch einfacher als mit den
Additionstheoremen beantworten, wenn du von der
Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis
ausgehst.
Der Punkt P auf dem Einheitskreis mit dem Polarwinkel
[mm] \alpha [/mm] hat die Koordinaten [mm] x=cos(\alpha) [/mm] und [mm] y=sin(\alpha).
[/mm]
Dem Winkel [mm] \alpha+\pi [/mm] entspricht der Punkt [mm] \overline{P} [/mm] des Einheits-
kreises, den man daraus durch Drehung um den Winkel
[mm] \pi [/mm] um den Nullpunkt oder um zentrische Spiegelung
am Nullpunkt O(0/0) erhält, also der Punkt [mm] \overline{P}(-x/-y).
[/mm]
Daraus folgen sofort die beiden Gleichungen.
Gruß Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Mi 27.05.2009 | | Autor: | MartinS83 |
Hi Al,
deine Lösung kann ich auch nachvollziehen, aber das würde so leider nicht zu unserem Stoff passen.
Wenn es das wirklich schon war, was ich oben geschrieben habe, dann hätte ich eigentlich selbst drauf kommen müssen. Naja, dann vielleicht bei der nächsten Aufgabe.
Ich danke euch beiden! :)
Gruß Martin
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