Beweis surjektiv < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 So 21.01.2007 | | Autor: | unwanted |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Feststellung:
Es seien V und W Vektorräume über K, [mm] (v_{1},...,v_{n}) [/mm] sei eine Basis von V und f : V [mm] \to [/mm] W sei eine lineare Abbildung. Dann gilt: f ist genau dann surjektiv, wenn ( [mm] f(v_{1}),...,f(v_{n}) [/mm] ) ein Erzeugendensystem von W ist. |
Hallo an alle da draussen! :)
Ich sitze jetzt schon ne Weile über dieser Aufgabe. Ich fühle mich ein bisschen verloren im Definitionsdschugel. Ich habe immer Problem mit Beweisen.
Ich wollte euch um Hilfe bitten die Zusammenhänge zu verstehen und die Aufgabe zu lösen.
Was muss ich jetzt genau zeigen um diese Festellung zu beweisen? Welche Definitionen brauche ich?
Könnt ihr mir bitte mit einem Ansatz helfen?
Vielen Dank!
Und noch einen schönen Sonntag :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 So 21.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Beweisen Sie folgende Feststellung:
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> Es seien V und W Vektorräume über K, [mm](v_{1},...,v_{n})[/mm] sei
> eine Basis von V und f : V [mm]\to[/mm] W sei eine lineare
> Abbildung. Dann gilt: f ist genau dann surjektiv, wenn (
> [mm]f(v_{1}),...,f(v_{n})[/mm] ) ein Erzeugendensystem von W ist.
> Hallo an alle da draussen! :)
Also wenn $f$ surjektiv ist, so gibt es ja zu jedem $w [mm] \in [/mm] W$ ein $v [mm] \in [/mm] V$ mit $f(v) = w$. Jetzt kannst du $v$ als Linearkombination von [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] schreiben. Wende doch mal $f$ auf die Linearkombination an.
Und umgekehrt: Wenn [mm] $f(v_1), \dots, f(v_n)$ [/mm] ein Erzeugendensystem von $W$ ist und $w [mm] \in [/mm] W$ ist, dann kannst du $w$ als Linearkombination von [mm] $f(v_1), \dots, f(v_n)$ [/mm] schreiben. Kannst du jetzt ein $v [mm] \in [/mm] V$ finden mit $f(v) = w$?
Dir auch noch einen schoenen Rest-Sonntag!
LG Felix
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Hallo Felix. Vielen Dank für deine Antwort :)
Ich habe mal versucht das umzusetzen was du vorgeschlagen hast:
> Also wenn [mm]f[/mm] surjektiv ist, so gibt es ja zu jedem [mm]w \in W[/mm]
> ein [mm]v \in V[/mm] mit [mm]f(v) = w[/mm]. Jetzt kannst du [mm]v[/mm] als
> Linearkombination von [mm]v_1, \dots, v_n[/mm] schreiben.
ok das habe ich so getan:
v = [mm] \lambda _{1}v_{1}+ \lambda _{2}v_{2}+...+ \lambda _{n}v_{n}
[/mm]
>Wende doch
> mal [mm]f[/mm] auf die Linearkombination an.
>
ok dann habe ich f(v) = f ( [mm] \lambda _{1}v_{1}+ \lambda _{2}v_{2}+...+ \lambda _{n}v_{n} [/mm] )
richtig?
>Und umgekehrt: Wenn $ [mm] f(v_1), \dots, f(v_n) [/mm] $ ein Erzeugendensystem >von $ W $ ist und $ w [mm] \in [/mm] W $ ist, dann kannst du $ w $ als >Linearkombination von $ [mm] f(v_1), \dots, f(v_n) [/mm] $ schreiben. Kannst du jetzt >ein $ v [mm] \in [/mm] V $ finden mit $ f(v) = w $?
ok dann habe ich w = ( [mm] \lambda _{1}f(v_{1})+\lambda _{2}f(v_{2})+...+\lambda _{n}f(v_{n}))
[/mm]
nun habe ich dies umgeformt:
w = (f( [mm] \lambda _{1}v_{1})+f(\lambda _{2}v_{2})+...+f(\lambda _{n}v_{n}))
[/mm]
w = f( [mm] \lambda _{1}v_{1}+ \lambda _{2}v_{2}+...+ \lambda _{n}v_{n})
[/mm]
also f(x) = w
und f( [mm] \lambda _{1}v_{1}+ \lambda _{2}v_{2}+...+ \lambda _{n}v_{n}) [/mm] = w
Kannst du mir bitte eine Rückmeldung geben ob dies so richtig ist?
Und wie muss ich nun dies alles zusammenschreiben, dass es ein Beweis für die Festellung ist?
Ich bin irgendwie noch ein bisschen verloren ich den vielen neuen Definitionen.
Würde mich freuen wenn ihr mir hier auch weiter helfen würdet. Danke :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 23.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Di 22.01.2008 | | Autor: | newsys |
Ist der Beweis so richtig? Sitze nämlich auch gerade an diesem Problem....
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