matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Analysis-InduktionBeweis über Quersumme
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Proofs by induction" - Beweis über Quersumme
Beweis über Quersumme < Proofs by induction < Real Analysis (Single Variable) < Real Analysis < Uni-Calculus < University < Maths <
View: [ threaded ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ all forums  | ^ Tree of Forums  | materials

Beweis über Quersumme: Aufgabe
Status: (Question) answered Status 
Date: 21:52 Mo 27/10/2014
Author: Michi4590

Aufgabe
Beweisen Sie, dass eine Zahl durch 9 teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Hi zusammen,

wie oben schon erwähnt, soll bewiesen werden, dass eine Zahl durch 9 teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Natürlich könnte ich jetzt als Beispiel die Zahl 81 nehmen (8+1) = 9 und somit die Aussage beweisen.

Allerdings finde ich meinen Beweis nicht dem Hochschulwissen angebracht und wollte daher fragen, ob es eine Alternative dazu gibt?

Vielen Dank :-)

        
Bezug
Beweis über Quersumme: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 22:04 Mo 27/10/2014
Author: Teufel

Hi!

Bewiesen hast du bis jetzt noch nichts, nur an einem kleinem Beispiel verifiziert. Welche Voraussetzungen hast du denn? Darfst du das Rechnen mit Kongruenzen verwenden?

Wenn nicht, dann kann man so anfangen: Sei [mm] a=a_n\cdot10^n+\ldots+a_1\cdot10+a_0 [/mm] eine Zahl (in Dezimaldarstellung). Dann Schreibe $a$ als [mm] a=a_n\cdot (10^n-1)+\ldots+a_1\cdot(10-1)+a_0+a_1+a_2+\ldots+a_n. [/mm] Kennst du dich etwas mit Teilbarkeit aus? Dann sollte der Rest kein Problem sein, wenn du bedenkst, dass [mm] $10^k-1$ [/mm] für alle [mm] $k\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] durch 9 teilbar sind.

Bezug
        
Bezug
Beweis über Quersumme: Beispiele und Beweise
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 22:07 Mo 27/10/2014
Author: Al-Chwarizmi


> Beweisen Sie, dass eine Zahl durch 9 teilbar ist, wenn ihre
> Quersumme durch 9 teilbar ist.

> Natürlich könnte ich jetzt als Beispiel die Zahl 81
> nehmen (8+1) = 9 und somit die Aussage beweisen.

Eine allgemeine Aussage kann man niemals durch
ein einziges Beispiel beweisen.


Im Gegensatz dazu könnte man eventuell eine allgemeine
Behauptung durch ein einziges Gegenbeispiel zu
Fall bringen, also widerlegen.

LG ,   Al-Chw.

Bezug
        
Bezug
Beweis über Quersumme: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 22:29 Mo 27/10/2014
Author: Marcel

Hallo,

> Beweisen Sie, dass eine Zahl durch 9 teilbar ist, wenn ihre
> Quersumme durch 9 teilbar ist.
>  Hi zusammen,
>  
> wie oben schon erwähnt, soll bewiesen werden, dass eine
> Zahl durch 9 teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch 9
> teilbar ist.
>  
> Natürlich könnte ich jetzt als Beispiel die Zahl 81
> nehmen (8+1) = 9 und somit die Aussage beweisen.

ne. Nach dieser Logik kann ich auch beweisen, dass jede Zahl durch 7
teilbar ist:
Beweis: Die 0 tut's.

Also: [haee]
  

> Allerdings finde ich meinen Beweis nicht dem
> Hochschulwissen angebracht und wollte daher fragen, ob es
> eine Alternative dazu gibt?

Die Aussage ist: Ist eine Zahl $N [mm] \in \IN$ [/mm] mit

    [mm] $N=(a_{n},a_{n-1},...,a_1,a_0)_{10}$ [/mm] (hierbei sind alle [mm] $a_k \in \{0,...,9\}$ [/mm] "Ziffern")
(Du schreibst sowas normalerweise als [mm] $a_na_{n-1}...a_1a_0\,,$ [/mm] natürlich multiplizierst
Du da die Ziffern NICHT!)

in Dezimaldarstellung gegeben, so gilt, dass

   $9 [mm] \mid \sum_{k=0}^N a_k$ $\Rightarrow$ [/mm] $9 [mm] \mid N\,.$ [/mm]

Schreibe dazu

    [mm] $N=\sum_{k=0}^n a_k*10^k\,.$ [/mm] (Ist Dir das klar?)

Nun gilt

    [mm] $\sum_{k=0}^N a_k=9*z$ [/mm] mit einem $z [mm] \in \IN\,.$ [/mm] (Nach Voraussetzung!)

Nun gilt aber auch

    [mm] $N=\sum_{k=0}^n a_k*10^k=\sum_{k=0}^n a_k*(9+1)^k\,.$ [/mm]

Dabei kann man auf [mm] $(9+1)^k$ [/mm] den binomischen Lehrsatz anwenden...

P.S. Den Fall [mm] $N=0\,$ [/mm] kann man zusätzlich behandeln, der ist aber trivial!

P.P.S. Um dieses allgemeine Rezept besser zu durchschauen, empfehle ich
Dir, abstrakt zu bleiben, und dennoch ein wenig spezieller zu werden, indem
Du erstmal so tust, als müsstest Du die Aussage nur für die Fälle

    [mm] $n=1,\,$ $n=2\,,$ $n=3\,,$ [/mm] und $n=4$

beweisen (also nur für alle Zahlen, die maximal 4 Ziffern haben, sofern man
vorangehende Nullen, wie üblich, nicht hinschreibt).

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Beweis über Quersumme: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 15:09 Fr 31/10/2014
Author: Michi4590

Vielen Dank für Eure Hilfe. Ich kann es nachvollziehen, wäre selber aber niemals darauf gekommen :-)

Bezug
        
Bezug
Beweis über Quersumme: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 11:08 So 02/11/2014
Author: Michi4590

Hi :-)

Noch einmal eine Nachfrage zu diesem Thema:

Und zwar habe ich gerade überlegt und festgestellt, dass es vielleicht auch möglich wäre, es so zu schreiben:

[mm]10 kongruent 1mod3 [/mm]
[mm] x_0 + 10x_1 + 10x_2 + ... +10^(n)x_n kongruent x_! + x_2 + x_n mod3[/mm]

Bezug
                
Bezug
Beweis über Quersumme: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 11:41 So 02/11/2014
Author: Al-Chwarizmi


> Hi :-)
>  
> Noch einmal eine Nachfrage zu diesem Thema:
>  
> Und zwar habe ich gerade überlegt und festgestellt, dass
> es vielleicht auch möglich wäre, es so zu schreiben:
>  
> [mm]10\ kongruent\ 1\ mod\ 3[/mm]
>  [mm]x_0 + 10x_1 + 10x_2 + ... +10^(n)x_n\ kongruent\ x_! + x_2 + x_n\ mod\ 3[/mm]    [haee]


Hallo Michi,

hier betrachtest du aber durch die Rechnung modulo 3
eben nur die Teilbarkeit durch 3 , dabei geht es aber
um die Teilbarkeit durch 9. Du müsstest dann eigentlich
noch zeigen, dass das (ganzzahlige) Ergebnis der
Division durch 3 auch wieder durch 3 teilbar ist !

Du kannst aber die Idee mit der Modulo-Rechnung
(falls du die verwenden darfst) schon anwenden,
aber dann korrekt. Betrachte also dazu die Zahl

   $\ a\ =\ [mm] x_0\,+\,x_1\,*\,10^1\,+\,x_2\,*\,10^2\,+\,x_2\,*\,10^2\ [/mm] ......\ [mm] \,+\,x_n\,*\,10^n$ [/mm]

und betrachte dies jetzt modulo 9 . Dies läuft
dann etwa auf dasselbe hinaus, was Teufel schon
in seinem Beitrag angeregt hat.

LG ,   Al-Chw.


Bezug
                        
Bezug
Beweis über Quersumme: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 12:03 So 02/11/2014
Author: Michi4590

Wie ich da jetzt auf einmal auf 3 komme ist mir auch ein Rätsel :-)

Vielen Dank für die Antwort :-)

Bezug
View: [ threaded ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ all forums  | ^ Tree of Forums  | materials


Alle Foren
Status vor 2h 33m 5. fred97
DiffGlPar/Existenz der Ableitung
Status vor 8h 49m 2. Staffan
UFina/Estimating the Value at Risk
Status vor 12h 58m 4. Gonozal_IX
UAnaR1FolgReih/Landau-Symbol (Big-O)
Status vor 1d 3h 08m 3. fred97
UAnaSon/Integrationsreihenfolge ∫∫
Status vor 1d 10h 03m 2. Gonozal_IX
SStochWkeit/WK einer Binomialv.
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]